实变函数习题解答(1).docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第一章习题解答1、证明A(BC)＝(AB)(AC)证明：设xA(BC)，则xA或x(BC)，若xA，则xAB，且xAC，从而x(AB)(AC)。若xBC，则xB且xC，于是xAB且xAC，从而x(AB)(AC)，因此A(BC)(AB)(AC)⋯⋯⋯⋯⋯(1)设x(AB)(AC)，若xA，则xA(BC)，若xA，由xAB且xAC知xB且xC，所以xBC，所以xA(BC)，因此(AB)(AC)A(BC)⋯⋯⋯⋯⋯(2)由(1)、(2)得，A(BC

2、)＝(AB)(AC)。2、证明①A－B＝A－(AB)＝(AB)－B②A(B－C)＝(AB)－(AC)③(A－B)－C＝A－(BC)④A－(B－C)＝(A－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(AC)－(BD)⑥A－(A－B)＝AB84B)＝AC(AB)＝A(CACB)证明：①A－(A＝(ACA)(ACB)＝(ACB)＝A－B(AB)－B＝(AB)CB＝(ACB)(BCB)＝(ACB)＝A－B②(AB)－(AC)＝(AB)C(AC)＝(AB)(CACC)＝(ABCA)(ABCC)＝[A(BCC)]＝A(B－C)③(A－B)－C＝(ACB)

3、CC＝AC(BC)＝A－(BC)④A－(B－C)＝AC(BCC)＝A(CBC)＝(ACB)(AC)＝(A－B)(AC)⑤(A－B)(C－D)＝(ACB)(CCD)＝(AC)(CBCD)＝(AC)C(BD)＝(AC)－(BD)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑥A－(A－B)＝AC(ACB)＝A(CAB)＝(ACA)(AB)＝(AB)＝AB3、证明：(AB)－C＝(A－C)(B－C)A－(BC)＝(A－B)(A－C)证明：(AB)－C＝(AB)CC85＝(ACC)(BCC)＝

4、(A－C)(B－C)(A－B)(A－C)＝(ACB)(ACC)＝(AA)(CBCC)＝AC(BC)＝A－(BC)4、证明：Cs(Ai)＝CsAii1i1证明：设xCs(Ai)，则xAi，于是，i、xAi，从而xCAi，i1i1所以，xCAi，所以，Cs(Ai)CsAi。i1i1i1设xCsAi，则i、CAi，即xAi，于是，Ai，即xC(Ai)，xxi1i1i1所以CAiC(Ai)，由以上两步得i1i1Cs(Ai)=CsAii1i15、证明：86－＝－①(A)(AB)BNN②(A)－＝(A－B)BNN证明：①(A)－B＝(A)CBNN＝

5、(ACB)＝(A－B)NN2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯②(A)－＝B(A)CBNN=(A＝(A－B)CB)NNn16、设{An}是一列集合，作B1=A1，Bn=An-(Ak)n>1。证明Bn是一列互k1nn不相交的集，而且Ak=kBk，n=1，2，3，⋯。k1187证明：设i≠j，不妨设i

6、)=k1k1kiki∴BiBj=，{Bn}互不相交。nn∵BiAi，∴Ak=Bk。k1k1另一方面，设xn，则存在最小的自然数i，使xAi，xi1AkAk，∴k1k1i1nxAi-Ak=BiBk，88k1k1nnnn∴AkBk∴Ak=Bk。k1k1k1k17、设A2n1=(0，n1)，A2n=(0，n)，n=1，2，⋯，求出集列{An}的上限集和下限集。解：n。∵A2n1=(0，n1)，A2n=(0，n)，∴A2n1A2n。3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯Am=(A2m1

7、A2m)=A2m=(0，m)=(0，∞)mnmnmnmnlimAn=Am=(0，∞)=(0，∞)nn1mnn1Am=(A2m1A2m)=A2m1mnmnmn1=(0，m)=mn∴limAn=An==。nn1mnn1898、证明：limAn=Amnn1mn证明：xlimAnn，m≥n，有xAmn，xAmnmnxAm，∴limAn=Am。n1mnnn1mn9、作出一个(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1对应，并写出这一对应的解析表达式。解：y=tg2x，x(－1，1)，y(－∞，＋∞)。10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个

8、平面上的点所成的集合是对等的。证明：用P表示在球面上挖去的那一点，P与球心O的连线交球面于M，过M作球面的切平面，过P点和球面上任一点N引直线，该直线与平面交于N，将N与N对应，P与M对应，则球面上的点与整