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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯对勾函数对勾函数:数学中一种常见而又特殊的函数。如图一、对勾函数f(x)=ax+错误！未找到引用源。的图象与性质对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。(一)对勾函数的图像对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如f(x)=ax+错误！未找到引用源。（接下来写作f(x)=ax+b/x）。当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x是正比例函数f(x
2、)=ax与反比例函数f(x)=b/x叠“加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。当a，b同号时，f(x)=ax+b/x的图象是由直线y＝ax与双曲线y=b/x构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示：a>0b>0a<0b<0对勾函数的图像（ab同号）当a，b异号时，f(x)=ax+b/x的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。）对勾函数的图像（ab异号）一般地，我们认为对勾函数
3、是反比例函数的一个延伸，即对勾函数也是双曲线的一种，只不过它的焦点和渐进线的位置有所改变罢了。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯接下来，为了研究方便，我们规定a>0，b>0。之后当a<0，b<0时，根据对称就很容易得出结论了。(二)对勾函数的顶点对勾函数性质的研究离不开均值不等式。利用均值不等式可以得到：当x>0时，错误！未找到引用源。。当x<0时，错误！未找到引用源。。即对勾函数的定点坐标：(三)对勾函数的定义域、值域由（二）得到了对勾函数的顶点
4、坐标，从而我们也就确定了对勾函数的定义域、值域等性质。(四)对勾函数的单调性y(五)对勾函数的渐进线OXy=ax由图像我们不难得到：(六)对勾函数的奇偶性：对勾函数在定义域内是奇函数，二、均值不等式(基本不等式）对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了均值定理的公式：a+b≥2sqrt(ab）。把ax+b/x
5、套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。这些知识点也是非常重要的。三、关于求函数yx1x0最小值的解法x1.均值不
6、等式x12，当且仅当x11的时候不等式取到“=”。当x1的时候，ymin20，yx，即xxx2.法yx1x2yx10x若y的最小值存在，则y240必需存在，即y2或y2（舍）2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯找到使y2时，存在相应的x即可。通过观察当x1的时候，ymin23.单调性定义设0x1x2fx1fx211x211x1x2x1x21x1x2x1x1x2x1x2x1x2当对于任意的x1,x2，只有x1,x20,1时，fx1fx20，此时fx单调
7、递增；当对于任意的x1,x2，只有x1,x21,时，fx1fx20，此时fx单调递减。当x1取到最小值，yminf124.复合函数的单调性112yxx2xxtx1在0,单调递增，yt22在,0单调递减；在0,单调递增x又x0,1t,0x1,t0,原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增即当x1取到最小值，yminf12四、例题解析：例1、已知函数，fxx7(1).x1,2,求fx的值域.x(2).x2,4,求fx的最小值.(3).x7,3,求fx的值域.解:函数f(x)x7在0,7,7,0递减x在7,,,7递
8、增(1).在x1,2是减函数f(2)f(x)f(1)即1f(x)8值域为1,822(2).分析知x72,4,f(x)的最小值为f(7)练习：2.f(x)在x,2,4最小值为27已知函数求f(x)的最小值,并求此时的x值.(3).在x7,3是增函数f(7)f(x)f(3)即-8f(x)16x7,3值域为8,163-3fxx25x243⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料
