中值定理构造辅助函数.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯微分中值定理证明中辅助函数的构造1原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的换成x；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数F(x)．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论f(b)f(a)f'()中令x，得g(b)g(a)g'()f(b)f(a)f'(x)f(b)f

2、(a)再两边同时积分得，先变形为g'(x)fg(b)g(a)g'(x)g(b)'(x)g(a)f(b)f(a)f(x)C，令C0，有f(b)f(a)g(b)g(x)f(x)g(x)故0g(a)g(b)g(a)F(x)f(x)f(b)f(a)g(x)为所求辅助函数．g(b)g(a)例2：若a0,a1,a2,⋯,an是使得a0a1a2⋯an0的实数．证明方程231na0a1xa2x2⋯anxn0在（0，1）内至少有一实根．证：由于(a0a1xa2x2⋯anxn)dxa0xa1x2a2x3⋯anxn1C23n1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设a1x2a2x3⋯

3、anxn1（取C0），则F(x)a0x3n121）F(x)在[0，1]上连续2）F(x)在（0，1）内可导3）F(0)=0，F(1)a0a1a2⋯an023n1故F(x)满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)使F'()0，即a12a2x3⋯anxn10亦即a0a1a22⋯ann0．(a0xxn)'x2311⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯这说明方程a0a1xa2x2⋯anxn0在（0，1）内至少有实根x．2积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．例3：设f(x)在[1，2]上连续，在

4、（1，2）内可导，f(1)1，f(2)2．证明存2在(1,2)使f'()2f()．分析：结论变形为f'()2f()0，不易凑成F'()x0．我们将换为x，x结论变形为f'(x)20，积分得：lnf(x)2lnxlnf(x)lnc，即f(x)c，从而f(x)xx2x2可设辅助函数为F(x)f(x)，有F(1)F(2)1．本题获证．x22例4：设函数f(x)，g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可微，f(a)f(b)0．证明存在(a,b)，使得：f'()f()g'()0．证：将f'()f()g'()0变形为f'()f()g'()f'()g'()，将换f()为x，则f'x()

5、，)两边关于x积分，得：f(x)g'x(f'(x)g'(dx)1d[f(x)]dg[x()]flxn(g)xC(，所以f(x)dxf(x))f(x)ex(p(g)x)Cexp(gx(KexpCg(x，(其中KexpC(，)由f(x)Kex(p(g可)x得Kf(x)exp(g(x))．由上面积分的推导可知，f(x)exp(g(x))为一常数K，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的．因而令F(x)f(x)exp(g(x))，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证．3几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数．

6、例5：证明拉格朗日中值定理．2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯分析：通过弦AB两个端点的直线方程为yf(a)f(b)f(a)(xa)，则函数f(x)与ba直线AB的方程之差即函数F(x)f(x)[f(a)f(b)f(a)(xa)]在两ba个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若f(x)在[a,b]上连续且f(a)a,f(b)b．试证在(a,b)内至少有一点，使f()．分析：由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数yf(x)的图形曲线必跨越yx这一条直线，而两者的交点的横坐标，

7、恰满足f()．进而还可由图知道，对[a,b]上的同一自变量值x，这两条曲线纵坐标之差f(x)x构成一个新的函数g(x)，它满足g(a)<0,g(b)>0,因而符合介值定理的条件．当为g(x)的一个零点时，g()0恰等价于f()．因此即知证明的关键是构造辅助函数g(x)f(x)x．4常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k．2）恒等变形使等式一端为a及f(a)构成的代数式，另一端为b及f(b)构成的代数式．3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则