导数与函数的极值最值ppt课件.ppt

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1、第2课时　导数与函数的极值、最值题型一　用导数解决函数极值问题角度一　根据函数图象判断极值【例1】已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A．1B．2C．3D．4【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．【答案

2、】B角度二　求函数的极值【例2】(2018·石家庄模拟)已知函数f(x)＝ex－3x＋3a(e为自然对数的底数，a∈R)，求f(x)的单调区间与极值．【解析】由f(x)＝ex－3x＋3a，x∈R，知f′(x)＝ex－3，x∈R.令f′(x)＝0，得x＝ln3，于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln3]，单调递增区间是[ln3，＋∞)，f(x)在x＝ln3处取得极小值，极小值为f(ln3)＝eln3－3ln3＋3a＝3－3ln3＋3a＝3(1－l

3、n3＋a)，无极大值．f′(x)与f(x)随x的变化情况如下表：故f(x)的增区间为(1，＋∞)，减区间为(－∞，0)和(0，1)．(2)g(x)＝ex－ax＋1，x∈(0，＋∞)，∴g′(x)＝ex－a，①当a≤1时，g′(x)＝ex－a>0，即g(x)在(0，＋∞)上递增，此时g(x)在(0，＋∞)上无极值点．②当a>1时，令g′(x)＝ex－a＝0，得x＝lna；令g′(x)＝ex－a>0，得x∈(lna，＋∞)；令g′(x)＝ex－a<0，得x∈(0，lna)．故g(x)在(0，lna)上

4、递减，在(lna，＋∞)上递增，∴g(x)在(0，＋∞)有极小值无极大值，且极小值点为x＝lna.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．【思维升华】(1)求函数f(x)极值的步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．(2)若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内绝不是单

5、调函数，即在某区间上单调函数没有极值．跟踪训练1(1)(2018·大连调研)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点【解析】(1)∵f(x)＝xex，∴f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)．∴当f′(x)≥0时，即ex(1＋x)≥0，即x≥－1，∴当x≥－1时函数y＝f(x)为增函数；同理可求，当x<－1时函数f(x)为减函数．∴x＝－1时，函数f(x)取得极小值．①若a≤0，则f

6、′(x)>0，f(x)在区间(0，e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值．②若00，函数f(x)在区间(a，e]上单调递增，所以当x＝a时，函数f(x)取得最小值lna.③若a≥e，则当x∈(0，e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0，e]上单调递减，【思维升华】求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的

7、函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．又因为a>0，所以当－30，即f′(x)>0，当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，所以f(x)的单调增区间是(－3，0)，单调减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，【思维升华】求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时，方法是不同的．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不

8、仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．【解析】由题意，得f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示，