微分方程的建立与求解ppt课件.ppt

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1、第二章连续时间系统的时域分析本章主要研究内容：微分方程的建立与求解零输入、零状态、冲激、阶跃响应卷积、算子一、微分方程的建立1．元件约束特性①电路元件i)电阻R：R_+i*时间域进行，不变换*直观，物理概念清楚*其它变换域方法基础*重新得到关注和重视v_+Liii)电感L：v+i_Ciii)电容C：元件约束特性→网络拓扑约束(方程)→微分方程iv)互感M：L1Mv1L2i2i1--++v2②机械元件ii)弹性系数：iii)质量：i)摩擦系数：2．网络拓扑约束ii)KCL：②机械系统：达朗贝尔原理ii)①电路系统i)KVL：i)4．电

2、路类微分方程建立例子3．不同性质系统可用相同微分方程描述数学模型，数学抽象，无物理意义<例见书上P43~P44>[例1]：求下面电路的微分方程+_+_+_e(t)v1(t)uv1(t)+_v0(t)CR解:C两端电压5．机械类微分方程建立例子[例2]：理想火箭推动器模型的微分方程火箭m1载荷m2摩擦系数f1摩擦系数f2输入:推进力e(t)k输出:荷载舱速度解：由(2)还可得：(4)由(2)可得：(3)把(3)和(4)代入(1)可得：e(t)r(t)6．线性时不变系统的微分方程特点②若组成系统的元件线性、参数恒定且无初始储能，则系统为

3、线性时不变系统+-iL(0-)=0Lvc(0-)=0-+C0-:激励加入前的时刻①一般形式：线性常系数微分方程二、微分方程的经典时域求解法（齐次解+特解法）②齐次解形式：函数的线性组合代入上式化简得特征方程令①齐次方程：1．齐次解（自由响应）有n个根特征根③各种特征根情况下的齐次解形式ii)为k重特征根，与有关的齐次解部分：iii)与为共轭复根（一重），对应齐次解部分：iv)与为共轭复根（k重），对应齐次解部分为：i)互不相同实根：特征根决定了系统自由响应的全部函数形式[例3]：求下列微分方程的齐次解形式①解：=-1，=-2②解：=

4、-2(二重)，=-3③(一重共轭)解：④解：=0(二重)，(一重共轭)⑤解：(二重共轭)2．特解（强迫响应）：由激励形式和特征根情况共同决定①将激励代入微分方程右端，化简得自由项（t>0时）②根据自由项形式与特征根情况设特解。见特解表<为什么要考虑特征根情况?>注：为次多项式；为s次多项式；；为次多项式；，为l次多项式。③确定特解：特解代入方程，求特解中待定系数[例4]：求下列微分方程在不同激励下的特解①自由项=，0不是特征根，=代入左端令对应系数相等可得：B0=0.5,B1=-0.5,B2=0.5特征根：解：i)ii)自由项=,t

5、>0时为0，故特解=0iii)，代入左端令对应系数相等可得：B=1自由项=，t>0时为，-2为1重特征根iv)t>0时自由项=，1不是特征根，代入左端令对应系数相等可得：B=1/3代入左端令对应系数相等可得：=t>0时自由项=，-1为1重特征根，v)[例4]：求下列微分方程的特解②i)iii)ii)解：(一重共轭)特征根：t>0时自由项=，为1重特征根，代入左端令对应系数相等可得：B1=0,B2=0.5=t(B1+B2)，i)代入左端令对应系数相等可得：t>0时自由项=，不是特征根，=(B1+B2)，t>0时自由项=，-1不是特征根

6、，=B代入左端令对应系数相等可得：B=0.2ii)iii)[例4]：求下列微分方程的特解③i)ii)iii)解：(一重共轭)特征根：i)t>0时自由项=，不为特征根，=B1+B2B1=0,B2=0.5iii)t>0时自由项=，-1不是特征根，=Bii)t>0时自由项=，为1重特征根，=t(B1+B2)[例4]：求下列微分方程的特解④i)ii)iii)解：(二重)特征根：解：i)t>0时自由项=，-1是2重特征根，=Bt2ii)t>0时自由项=t，-1是2重特征根，=t2(B1t+B2)iii)t>0时自由项=，-1是2重特征根，=t

7、2(B0t2+B1t+B2)①写出完全解：其中ii)初始条件iii)设n个特征根互不相同，则将初始条件代入，可得如下方程组：3．完全解有n个待定系数②待定系数由初始条件确定注意两种描述：起始状态0-，初始条件0+为待求系数i)求解区间激励t=0时刻加入0+状态见P47其中：为范德蒙矩阵，一定可逆，故：③若不给定初始条件，怎么由起始状态确定ii)已知电路图，由求<一般不跳变的含义？>的原理是：电容电压，电感电流一般不跳变iii)已知微分方程与激励，由求冲激函数匹配法和目测法的方法是：i)起始状态：系统在加入激励前的瞬间的一组状态，即0

8、-状态[例5]：已知电路图，t=0时刻开关S从1打向2，求i(t)vc(t)R2=1.5ΩC=1FL=0.25H+_+_e(t)=2V+_S12ic(t)iL(t)R1=1Ωi(t)e(t)=4V①由元件约束、网络拓扑约束列写微分方程