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1、第六章微分方程问题的解法微分方程的解析解方法常微分方程问题的数值解法微分方程问题算法概述四阶定步长Runge-Kutta算法及MATLAB实现一阶微分方程组的数值解微分方程转换特殊微分方程的数值解边值问题的计算机求解偏微分方程的解6.1微分方程的解析解方法格式：y=dsolve(f1,f2,…,fm)格式：指明自变量y=dsolve(f1,f2,…,fm,’x’)fi既可以描述微分方程，又可描述初始条件或边界条件。如：描述微分方程时描述条件时例：>>symst;u=exp(-5*t)*cos(2*t+1)+5;>>uu=5*diff(u,t,2)+4*diff(u
2、,t)+2*uuu=87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10>>symsty;>>y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',...'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+10'])>>y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',...'87*exp(-5*t)*cos(2*t+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)...+10'],'y(0)=3','D
3、y(0)=2','D2y(0)=0','D3y(0)=0')分别处理系数，如：>>[n,d]=rat(double(vpa(-445/26*cos(1)-51/13*sin(1)-69/2)))ans=-8704185%rat()最接近有理数的分数判断误差：>>vpa(-445/26*cos(sym(1))-51/13*sin(1)-69/2+8704/185)ans=.114731975864790922564144636e-4>>y=dsolve(['D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=',...'87*exp(-5*t)*cos(2*t
4、+1)+92*exp(-5*t)*sin(2*t+1)+...10'],'y(0)=1/2','Dy(pi)=1','D2y(2*pi)=0','Dy(2*pi)=1/5');如果用推导的方法求Ci的值，每个系数的解析解至少要写出10数行,故可采用有理式近似的方式表示.(2009b,求解有问题）>>vpa(y,10)%有理近似值ans=1.196361839*exp(-5.*t)+.4166666667-.4785447354*sin(t)*cos(t)*exp(-5.*t)-.4519262218e-1*cos(2.*t)*exp(-5.*t)-2.392723
5、677*cos(t)^2*exp(-5.*t)+.2259631109*sin(2.*t)*exp(-5.*t)-473690.0893*exp(-3.*t)+31319.63786*exp(-2.*t)-219.1293619*exp(-1.*t)+442590.9059*exp(-4.*t)例：求解>>[x,y]=dsolve('D2x+2*Dx=x+2*y-exp(-t)',…'Dy=4*x+3*y+4*exp(-t)')例：>>symstx>>x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)')x=[1/(1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)][-1/(
6、1+exp(-2*t)*C1)^(1/2)]>>symstx;x=dsolve('Dx=x*(1-x^2)+1')Warning:Explicitsolutioncouldnotbefound;implicitsolutionreturned.>InD:MATLAB6p5toolboxsymbolicdsolve.matline292x=t-Int(1/(a-a^3+1),a=``..x)+C1=0故只有部分非线性微分方程有解析解。6.2微分方程问题的数值解法6.2.1微分方程问题算法概述微分方程求解的误差与步长问题：function[outx,outy]
7、=MyEuler(fun,x0,xt,y0,PointNum)%fun表示f(x,y);x0,xt:自变量的初值和终值;y0:函数在x0处的值,其可以为向量形式;PointNum表示自变量在[x0,xt]上取的点数ifnargin<5
8、PointNum<=0%PointNum默认值为100PointNum=100;endifnargin<4%y0默认值为0y0=0;endh=(xt-x0)/PointNum;%计算步长hx=x0+[0:PointNum]'*h;%自变量数组y(1,:)=y0(:)';%将输入存为行向量，输入为列向量形式fork=1:PointNu
9、mf=fe
