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1、函数的连续性与间断点连续函数的运算与初等函数的连续性二、函数的间断点一、函数连续性的定义第八节函数的连续性与间断点第一章一、函数连续性的定义定义:在有定义,则称函数设函数且.0处连续。在x)(xf)(xfy=处及其邻域内,)()(lim00xfxfxx=®.0处连续。在x)(xf)()(lim00xfxfxx=®函数在点(1)在点即(2)极限(3)连续必须具备下列条件:存在;有定义,存在;否则函数f(x)在x0处间断。若在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上连续,或称它为该区间上的连续函数.在
2、闭区间上的连续函数的集合记作例如,在上连续.(有理整函数)又如,有理分式函数在其定义域内连续.只要都有对自变量的增量有函数的增量函数在点连续有下列等价命题:左连续右连续当时,有例.证明函数在内连续.证:即这说明在内连续.同样可证:函数在内连续.在在二、函数的间断点(1)(2)不存在;(3)存在,但不连续下列情形之一函数f(x)在点这样的点有定义,但有定义,且称为间断点.在无定义;间断点分类:第一类间断点:及均存在,若称若称第二类间断点:及中至少一个不存在,称若其中有一个为振荡,称若其中有一个为为
3、可去间断点.为跳跃间断点.为无穷间断点.为振荡间断点.为其无穷间断点.为其振荡间断点.为可去间断点.例如:显然为其可去间断点.(4)(5)为其跳跃间断点.小结左连续右连续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在在点间断的类型在点连续的等价形式1.讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.2.设时提示:3.P65题2,3(2)(3)为连续函数.答案:x=1是第一类可去间断点,练习作业P64---4备选题：确定函数间断点的类型.解:
4、间断点为无穷间断点;故为跳跃间断点.一、连续函数的运算法则第九节二、初等函数的连续性连续函数的运算与初等函数的连续性第一章定理2.连续单调函数的反函数也连续单调在其定义域内连续一、连续函数的四则运算法则定理1.连续函数的和、差、积、商连续。例如,例如,在上连续单调递增，其反函数在[－1,1]上也连续单调递增.二、反函数与复合函数的连续性在上连续单调递增,其反函数在上也连续单调递增.又如,定理3.连续函数的复合函数是连续的.证:设函数于是故复合函数且即意义：例如,是由连续函数链因此在上连续.复合而
5、成,例1.设均在上连续,证明函数也在上连续.证:根据连续函数运算法则,可知也在上连续.三、初等函数的连续性基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续一切初等函数在定义区间内连续例如,的连续区间为(端点为单侧连续)的连续区间为的定义域为因此它无连续点而例2.求解:原式例3.求解:令则原式说明:当时,有例4.求解:原式说明:若则有例5.设解:讨论复合函数的连续性.故此时连续;而故x=1为第一类间断点.在点x=1不连续,小结基本初等函数在定义域内连续连续函数的四则运算的结
6、果连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续初等函数在定义区间内连续说明:分段函数在界点处是否连续需讨论其左、右连续性.练习续?反例x为有理数x为无理数处处间断,处处连续.反之是否成立?作业P703(5),(6),(7);4(4),(5),(6);6。提示:“反之”不成立.,)(0连续在点若xxf是否连在问02)(,)(xxfxf)(xf)(,)(2xfxf
