高中数学圆的方程(含圆系)典型题型归纳总结.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：⑴以为圆心的同心圆系方程⑵过直线与圆的交点的圆系方程⑶过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为

2、直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.①依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得又满足方程①，则故例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即例1：已知圆与直线相交于两点，为过直线与圆的交点的圆系方程为坐标原点，若，求实数的值。，即分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。1⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①x2y10解得x9即xy50y4，∴直线过定点P（

4、9，－4）注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.∵m∈R，∴2x+y－7=0，得x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝5＜5（半径），∴点

5、A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－1，2∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例5、若直线yxm与曲线y4x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.解：∵曲线y4x2表示半圆x2y24(y0)，∴利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2m2或m22.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=1y2恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形

6、结合.答案：－1＜k≤1或k=－2例6圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线l1、l2的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径r3．设圆心O1到直线3x4y113343110的距离为d，则d324223．如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又rd321．∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意

7、．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线3x4y110，且与之距离为1的直线和圆的交点．设2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯所求直线为3x4ym0m11，则d1，3242∴m115，即m6，或m16，也即l1：3x4y60，或l2：3x4y160．设圆(3)2(y3)29的圆心到直线l1、l2的距离为d1、d2，则O1：x33436334316d132423，d232421．∴l1与O1相切，与圆O1有一个公共点；l2

8、与圆O1相交，与圆O1有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d334311324223．∴圆O1到3x4y110距离为1的点有两个．显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y110的距离，dr，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．类型三：圆中的最值问题例7：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是解：∵圆(x2)2(y2