w机械工程控制基础-第二章ppt课件.ppt

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1、机械控制工程理论基础第二章拉普拉斯变换的数学方法7/27/20211提纲2.1复数和复变函数2.2拉氏变换与反拉氏变换的定义2.3典型时间函数的拉氏变换2.4拉氏变换的性质2.5拉氏反变换的数学方法2.6用拉氏变换解常微分方程7/27/20212拉普拉斯（Laplace）变换，简称拉氏变换。是分析研究线性动态系统的有力工具。时域的微分方程复数域的代数方程系统分析大为简化直接在频域中研究系统的动态性能拉氏变换7/27/20213引言复数和复变函数（1）复数的概念其中，均为实数。为虚单位。（2）复数的表示法点表示法向量表示法三角函数表示法指

2、数表示法7/27/20214引言复数和复变函数（3）复变函数的概念为自变量。7/27/20215例：7/27/20216当s＝z1,…,zm时，G(s)=0，则称z1,…,zm为G(s)的零点；当s＝p1,…,pm时，G(s)=∞，则称p1,…,pm为G(s)的极点。7/27/202172.2拉氏变换与拉氏反变换的定义1、拉氏变换有时间函数f(t)，t≥0，则f(t)的拉氏变换记作：L[f(t)]或F(s)，并定义为：(2－1)f(t)的拉氏变换F(s)存在的两个条件：（1）在任一有限区间上，f(t)分段连续，只有有限个间断点；（2）当t

3、→∞时，f(t)的增长速度不超过某一指数函数，即满足：该条件使得积分绝对值收敛。7/27/202182.2拉氏变换与拉氏反变换的定义2、拉氏反变换已知f(t)的拉氏变换F(s)，求原函数f(t)的过程称作拉氏反变换，记作：定义为如下积分：其中：s为大于F(s)所有奇异点实部的实常数。(2－2)7/27/202192.3典型时间函数的拉氏变换1单位阶跃函数定义为：单位阶跃函数的拉氏变换为：7/27/2021102.3典型时间函数的拉氏变换2单位脉冲函数定义为：单位脉冲函数的重要性质：单位脉冲函数的拉氏变换为：7/27/2021112.3典型

4、时间函数的拉氏变换3单位斜坡函数定义为：单位斜坡函数的拉氏变换为：7/27/2021122.3典型时间函数的拉氏变换4指数函数定义为：指数函数的拉氏变换为：7/27/2021132.3典型时间函数的拉氏变换5正弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：6余弦函数用欧拉公式表示为：其拉氏变换为：7/27/2021142.3典型时间函数的拉氏变换7幂函数其拉氏变换为：例：表2－1为常用时间函数的拉氏变换表，可通过直接查表求时间函数的拉氏变换。7/27/2021152.4拉氏变换的性质1.线性性质－线性变换(2-3)7/27/2021162.4拉氏

5、变换的性质2.实数域的位移定理－延时定理(2-4)其中f(t-a)是函数f(t)在时间上延迟a秒的延时函数，且：7/27/202117例2.3图2－10所示方波的拉氏变换。图示方波函数表达为：利用单位阶跃函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：7/27/202118例2.4求图2－11所示三角波的拉氏变换。图示三角波函数表达为：利用单位斜坡函数的拉氏变换，以及拉氏变换的线性性质和延时定理：7/27/2021192.4拉氏变换的性质3.周期函数的拉氏变换设f(t)是以T为周期的周期函数，即：则f(t)的拉氏变换为：7/27/202

6、1202.4拉氏变换的性质4.复数域位移定理7/27/2021212.4拉氏变换的性质5.相似定理7/27/2021222.4拉氏变换的性质6.微分定理7.积分定理7/27/202123Back8终值定理原函数f(t)的稳态性质sF(s)在s=0邻域内的性质7/27/202124Back9初值定理7/27/2021252.4拉氏变换的性质10.tf(t)的拉氏变换11.f(t)/t的拉氏变换7/27/2021262.4拉氏变换的性质12.卷积定理函数f(t)和g(t)的卷积定义为：拉氏变换的卷积定理：若函数f(t)和g(t)满足拉氏变换存

7、在的条件，则f(t)和g(t)的卷积的拉氏变换一定存在，且：其中，函数f(t)和g(t)满足：当t<0时，f(t)=g(t)=07/27/2021271.定义：从象函数F(s)求原函数f(t)的运算称为拉氏反变换。记为。由F(s)可按下式求出式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直接查到的原函数的形式。2.5拉氏反变换的数学方法7/27/2021282.5拉氏反变换的数学方法拉氏反变换的数学方法有：(1)查表法－简单象函数；(2)有理函数法－

8、需要复变函数的留数定理；(3)部分分式法－复杂的象函数简化为几个简单的部分分式之和，分别求各分式的原函数，即可得总的原函数；(4)利用MATLAB求解。7/27/202129若F(s)不能在表