机械工程控制基础 第二章ppt课件.ppt

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1、第二章系统的数学模型第一节系统的微分方程第二节系统的传递函数第三节系统的传递函数方框图及其简化第四节反馈控制系统的传递函数第五节相似原理引言引言引言2.1系统的微分方程列写系统的微分方程，目的在于确定系统的输出量与给定输入量或扰动输入量之间的函数关系。2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程2.1系统的微分方程对系统元部件的特性、特别是静特性进行严格地考察，几乎程度不同的都具有非线性关系。只是在很

2、多情况下，其非线性因素较弱，近似将其看作线性特性。当系统或元件具有非线性特性时，则其动态数学模型常为非线性微分方程，而非线性微分方程的解析求解是异常困难的，且由于非线性特性类型不同，没有通用的解析方法。因此，在理论研究时总是力图将非线性问题在合理的情况下简化处理成线性问题，即所谓的线性化。“小偏差法”（又称“微偏法”）是常用的线性化方法之一。四、非线性系统的线性化2.1系统的微分方程（一）基本概念非线性微分方程的线性化——将非线性微分方程在一定的条件下转化为线性微分方程的方法。小偏差线性化——非线性微分方程能进行线

3、性化的一个基本假设是变量对于平衡工作点的偏离很小。（二）小偏差线性化的原理若系统变量在平衡工作点处有导数或偏导数存在，则在平衡工作点的微小邻域将此非线性函数展开为泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。可见，小偏差线性化的几何意义是在预期工作点邻域内用通过该点的切线近似代替原来的曲线。对于1个变量的非线性函数对于2个变量的非线性函数（三） “小偏差法”形象的图解描述我们知道，铁芯线圈的电流与磁链的关系为非线性，如图所示。如果工作过程中线圈的电流与磁链只在平衡工作点附近作微小变化

4、，那么我们以此铁芯线圈为例来说明“小偏差法”的原理。点击下图查看Flash动画（四） “小偏差法”的适用条件“小偏差法”的数学基础是泰勒级数展开，然后忽略掉高阶无穷小项及余项而得到线性化模型。（１）系统正常工作时有一个工作点(X0,Y0)，且在(X0,Y0)附近小范围调节。　（２）非线性函数在工作点(X0,Y0)处各阶导数存在（即是一个光滑的曲线）。下图是一个液压伺服系统，下面通过它讨论线性化问题(1)输入变量为阀心位移x；输出变量为活塞位移y;中间变量(2)按照液压原理建立动力学方程负载动力学方程为流量连续性方

5、程为q与p一般为非线性关系(2.1.15)(2.1.16)(2.1.17)（3）线性化处理将(2.1.17)在工作点领域做泰勒展开，当偏差很小时，可略去展开式的高阶项，保留一次项，并取增量关系，有：式中则(2.1.18)可以写成当系统在预定工作条件，，下工作即分别为q,x,p,故（2.1.19）可以写为(2.1.18)(2.1.19)(2.1.20)(2.1.21)(2.1.22)（4）消除中间变量由可得将上式代入（2.1.15）整理后可得线性化后的动力学方程为：图2.1.4q,p,x三者线性关系小偏差线性化时要注

6、意以下几点：（1）必须明确系统工作点，因为不同的工作点所得线性化方程的系数不同。本题中参数在预定工作点的值均为零（2）如果变量在较大范围内变化，则用这种线性化方法建立的数学模型，在除工作点外的其它工况势必有较大的误差。所以非线性模型线性化是有条件的，即变量偏离预定工作点很小。（3）如果非线性函数是不连续的（即非线性特性是不连续的），则在不连续点附近不能得到收敛的泰勒级数，这时就不能线性化。（4）线性化后的微分方程是以增量为基础的增量方程。拉普拉斯变换一、拉氏变换的定义若将时间域函数f(t)，乘以指数函数e-st（其

7、中s=σ+jω，是一个复数），再在0～∞(本书如无特指，∞均指+∞)之间对t进行积分，就得到一个新的复频域函数F(s)。F(s)称为f(t)的拉氏变换式，并可用符号L［f(t)］表示。补充：设函数f(t)满足①t<0时f(t)=0②t>0时，f(t)分段连续则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作：【例1】求单位阶跃函数（UnitStepFunction）1(t)的象函数。解:在自动控制系统中，单位阶跃函数是一个突加作用信号，相当于一个开关的闭合（或断开），单位阶跃函数的定义式为图2-7单位阶跃函数由拉氏变换的定义得

8、1(t)的象函数为【例2】求斜坡函数（RampFunction）的象函数。斜坡函数的定义式为式中，K为常数。解:在自动控制系统中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。在研究跟随系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，根据拉氏变换的定义式有(2-25)这里应用了积分学中的分部积分法，即若式（2-25）中K=1，则单位斜坡函数的象函数为【例3】求指数函数