利息理论 第二章课件 年金.ppt

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1、第二章年金所谓年金就是一系列按照相等时间间隔支付的款项。年金在经济生活中有很广泛的应用，如零存整取的银行存款、住房按揭换款、购物分期付款以及保险领域中的养老金给付、分期交付的保费等等，这些都属于年金的形式。年金的最初形式是以一年为时间间隔支付的一系列款项，随着年金在实际生活中以及理论研究上的不断深入，时间间隔突破了以一年为其的限制，变得可长可短。年金中涉及到的其他方面，如付款、利息等，也可以产生许多变化。我们将付款时间间隔相等、每次付款额度相等、整个付款期内利率不变且计息频率与付款频率相等的年金称为年金的标准型。年金的各种变化形式称为年金的一般型

2、。2.1年金的标准型2.1.1期末付年金在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。假设一笔年金，付款期限为n期，每期期末付款额为1，每期利率为i,各期付款如图所示。如果用表示在利率i下这n期末付年金的现值，则有，用表示在利率i下，这n期末付年金在n年末的积累值,则有，并且，末付年金的现值与终值之间存在着如下关系：例、计算年利率为6%的条件下，每年年末投资1000元，投资10年的现值及积累值。解：由公式直接可得：年金现值为：年金的积累值为：例、甲在银行存入20,000元，计划分4年支取完毕，每半年支取一次，每半年计息一次的年名义利率为7%，计算每次的

3、支取额度。解：半年期实际利率为3.5%，设R为每次支取额度，有，即甲每次的支取额度为2909.51元2.1.2期初付年金在2.1.1中介绍了期末付年金，与值相对应，在每个付款期间开始时付款的年金为期初付年金。假设一个n年期年金，每期期初付款额为1，利率为，各期的付款如下图所示：如果用表示在利率i下这n期期初付年金的现值，则有，用表示在利率i下，这n期末付年金在n年末的积累值，则有，并且，末付年金的现值与终值之间存在着如下关系：初付年金和末付年金之间存在如下关系：以上各式我们可以通过画图通过简单的推导得到，可以通过如上关系在已知期初年金的情况下，求

4、得末付年金；或者在已知末付年金的情况下，求得初付年金。2.1.3任意时刻的年金值前两节对时刻0的年金现值及时刻n时的年金积累值进行了计算（包括初付年金和末付年金）。但是，无论在理论上还是在实务上，都会遇到要求计算任意时刻年金值的问题，如延期年金的现值。一般而言，有三种时刻的年金值需要计算：（1）首期付款前某时刻的年金现值；（2）最后一期付宽后某时刻的年金积累值；（3）付款期间某时刻的年金当前值；我们以下两图为例说明任意时刻年金的表示方法：以0时刻为基点，但是给付时刻不是标准的，从时刻3开始，则0时刻的现值可以有如下表示：当然，类似的还可以构造时刻

5、10的积累值的各种表达式如果以时刻3作为基点，那么时刻3的年金价值可以有如下的表述形式：类似的，我们可以构造更为复杂的任意时刻年金现值的求解公式。期末付永续年金的现值记为，且有，相应的期初付永续年金记为，且有，永续年金的最终积累值不存在，因为给付没有终点时刻，无穷的给付导致积累值变为无穷大。例、某人去世后，保险公司支付100，000元的保险金，其三个受益人经过协商决定按永续年金方式领取该笔款项，A受益人领取前8年的年金，受益人B领取以后10年的年金，然后由受益人领取以后的所有年金。年金在期初支付，利率为6.5%。计算A,B,C各自领取的保险金额。

6、解：每年可以领取地年金数额为：2.2年金的一般型第一节介绍了年金的标准型，本节将介绍年金标准型的各种变化，如利率的变化、计息期或计息频率的变化、付款频率的不变化等，这些变化同称为年金的一般型。2.2.1变动利率年金在年金的标准型中，整个付款期内利率是不变的。这里讲介绍变动利率年金的计算。一般有两种利率变动的方式：（1）个付款期间段的利率不同，既不同时间的利率不同，如在第一个付款期利率为i1,第二个付款期利率为i2，…，这样，所有付款的年进现值为：年金的积累值为：（2）各次付款所依据的利率不同，即各次付款现值及积累值的计算都基于该次付款的利率。这种

7、年金的现值为：相应年金的积累值为：2.2.2付款频率与计息频率不同的年金1.付款频率低于计息频率的年金(1)期末付年金设k为每个付款期间的计息的计息频率，n为整个付款的计息次数，每个计息频率为i,并假设n，k为整数，则付款次数为n/k，且年n/k也为整数。这种情况下，每次付款为1的年金现值为：相应的年金积累值为：此时年金和积累值之间的关系：(2)期初付年金：年金的现值计算如下：年金的积累值计算如下：同样，此时的年金也可以通过标准期初年金的精算符号来表示，其现值和终值分别为：(3)其他各种形式的付款频率小于计息频率的情况：永续末付年金现值为：相应的

8、期初永续年金的现值为：对于付款频率小于计息频率的年金，一方面可以用如上所述的计算公式计算，但前提是要记牢各种公式；另一种方法是从该类型年