推理3.2-歧路亡羊--诱发兴趣--欣然学发现.doc

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1、3.2歧路亡羊诱发兴趣欣然学发现1．MM实验研究课教学简案(一)课题：二项式定理(一)时间：1991年6月5日（星期三）下午2:30～3:15班级：无锡市第三中学高二(2)班教学目的：1．育：通过成语故事“歧路亡羊”的数学含义的讨论，激发学生的学习兴趣，由“杨辉三角”的规律性给学生数学美的享受，并对学生进行爱国主义教育，激励学生为振兴中国数学而勤奋学习.2.教：引导学生运用组合知识为工具，探究二项式定理，启发学生通过观察、分析、归纳出“杨辉三角”的结构规律，认识二项式系数的性质，培养学生由特殊到一般的抽象能力、思维能力，发展学生的数学品质.教学方法:三维法，即把教与学看

2、作一个系统，根据教材与教学要求，知识的科学性、系统性（知识维），在教学中渗透数学思想方法（逻辑维），从学生的心理，学习基础，认识规律等实际情况（学情维）出发优化组合各种教学方法，使教与学发生共振，获取最大教学效果.教学过程与内容：一．讨论，分析“歧路亡羊”的故事按照波利亚《数学的发现》第三章介绍的“符咒”引导学生寻求成语故事“歧路亡羊”的数学含义，与学生一起把“歧路亡羊”简单化地抽象成一个数学模型.假定迷途的羊所到歧点处都只有两条歧路，相邻两条歧路又并为一条（如图）而且假定羊不向后退，于是羊走到歧点处只有向左或向右两种走法，然后与学生共同分析迷途的羊走到各歧点走法的种数

3、.在第一次分歧时，只有两种走法：向左或向右.在第二次分歧时有左左，左右，右左，右右四种走法，其中先左后右与先右后左所到地点是一样的，即到某一地点与左右先后次序无关，仅与次数有关，（使学生联想到组合），于是可以把所到地分成三类：第一类没有向右，有一种走法第二类一次向右，有二种走法共有四种走法第三类二次向右，有一种走法在类似地分析了第三次甚至第四次分歧点的走法，逐次得出上图前几项数字后，引导学生由特殊到一般地猜想第n次分歧的走法有多少类？各有多少种走法？共有多少种走法？此时学生正沉浸在观察、分析、归纳的兴趣之中，（必要时启发学生联想曾讲过的一个例题，教室里有6盏灯，开灯照明

4、共有几种不同方法？此例题也引导学生推广到一般情形，并用两种方法推导出:).学生终于可以发现：第n次分歧有n+1类：第一类没有向右，有种走法第二类一次向右，有种走法第三类二次向右，有种走法共有2n种走法……………………第n+1类n次向右，有种走法进一步追问，r次向右是第几类？有多少种走法？为得出通项公式作好伏笔.这样一来，学生自己发现了杨辉三角的第n行数字.二．类比，探究(a+b)n的展开式按照教学抽象的习惯，用a代替向左，用b代替向右，使向左或向右对应于a+b，二次分歧对应于(a+b)(a+b)=(a+b)2（据加法原理与乘法原理说明加与乘的含义）如此等等，于是n次分歧

5、即(左或右)·(左或右)……(左或右)(a+b)(a+b)……(a+b)=(a+b)nn个括号n个括号在学生回顾(a+b)2、(a+b)3的展开式，并指明3a2b表示两次向左、一次向右共有三条路线之后，再让学生用类比的方法去猜想(a+b)n的展开式，体验发现的欢乐，并用类比的手法启发学生给出二项式定理的组合法证明(a+b)n有n+1类:第一类都不取b，有种走法第二类一次取b，有种走法第三类二次取b，有种走法……………………共有2n种取法第r+1类r次取b,有种取法……………………第n+1类n次取b,有种走法所以有(a+b)n=鼓励学生的发现，然后点题：二项式定理，并介绍

6、二项式展开式等概念，指出这种从特殊到一般，从有限到无限的认识，应用数学归纳法证明更为严格，而这一证明（教学难点）留给学生思考，下一节课再严格推证.三．归纳，认识二项式系数的规律趁学生发现兴趣正浓的时候，进一步引导学生去发现二项式定理的项数、指数、系数的规律，使学生对二项式定理的认识由表及里，由粗至精.学生经过观察、分析杨辉三角的结构规律不难归纳发现二项式系数的性质，并感受到数学的美.1.对称律：与首末两端“等距离”的两项式系数相等.（追问原因：）2.最值律：二项式系数中间大，两头小，当n为奇数时，中间的项的二项式系数相等且最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(

7、追问：最大项是第几项？最大项是什么？)3.递推律：杨辉三角的两边数字都是1，中间数字是肩上两数之和.（追问原因:）4.和数律：各行数字和为(n=1,2,……)即=.（追问组合证法）再把a、b抽象成更一般的f(x)、g(x)，使学生认识二项式系数及其性质与a、b无关.四．小结，简介二项式定理的历史1．通过课堂练习：求、、的展开式，巩固学生对二项式定理的认识.2.简介二项式定理的历史:公元1023～1050年贾宪著《黄帝九章算法细草》已经有“杨辉三角”，但已失传.1261年杨辉著《详解九章算法》说贾宪用过这表，这本书在清末被英国掠夺,收于剑桥