知识点057 完全平方公式几何背景(解答).doc

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1、1、（Ⅰ）请你根据①中的面积写出它所能说明的乘法公式　（a+b）2=a2+2ab+b2　．（Ⅱ）如图②（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标．它是由四个全等的如图②（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形．请你根据图②（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程．考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图②（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三

2、角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解．解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，∴能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2．推导如下：中间小正方形的边长为（b﹣a），∴大正方形的面积可表示为：c2=4×ab+（b﹣a）2，整理得，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，即c2=a2+b2．点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键．2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成

3、一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为　（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）　；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为　（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2　；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长．考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可．解答：解：（1）小正方形的边长为：（a﹣

4、b），∴面积为（a﹣b）2，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4×长方形的面积=（a+b）2﹣4×ab=（a2﹣2ab+b2），∴小正方形面积为：（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）∵小正方形的面积是同一个图形的面积，∴（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）小正方形的面积为：162﹣4×63=256﹣252=4，∴小正方形的边长为2．故答案为：（1）（a﹣b）2或（a2﹣2ab+b2）；（2）（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2；（3）2．点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大．3、

5、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图②）（1）用几块如图②所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图①所示的四块矩形板材铺成如图③的大正方形或如图④的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；①请用含a、b的代数式分别表示图③和图④中阴影部分的面积；②试比较图③和图④中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）四块正方形，即可拼成一个大的正方形

6、；（2）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0的大小关系即可判断大小关系．解答：解：（1）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2．（2）①图③的面积是：（a﹣b）2；图④的面积是：a（a﹣2b），（a﹣b）2﹣a（a﹣2b）=a2﹣2ab+b2﹣a2+2ab=b2＞0，则：（a﹣b）2＞a（a﹣2b）．故图③的面积较大．点评：本题主要考查了图形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法．4、我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性．如完全平方公式可以用图1的面积表示．（1）根据图2写出一个代数恒等式

7、　2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）　；（2）其实图形的面积也可以解释不等式的正确性．如已知正数a、b、c和m、n、l，并且满足a+m=b+n=c+l=k．试构造边长为k的正方形，利用其来说明al+bm+cn＜k2的正确性．请你画出图形，并简单解释．考点：完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式。专题：几何图形问题。分析：本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积．解答：解：（1）图2的面积为：2a2+3ab+b2=图1的面积为：（2a+b）（a+b），∴可得：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）．（2

8、）根据图形al+bm+cn是图中三个矩形的面积和．而k2是正方形的面积．大小关系