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1、立体几何综合训练---模型巩固及真题感悟（下）成都树德中学杨世卿【学习目标】1.通过高考真题训练加深对一些模型的理解；2.通过高考真题训练明白立体几何学习的要求。【学习重点】总结模型，感悟出题方向。另外从解答题转到小题来。【学习过程】立体几何模型立体几何常见模型有：1．垂面模型、2.半平面模型、3.四直角三角形模型、4.共底等腰三角形模型5．中位线6.直三棱柱、7.正棱锥、8.正方体、9.擎天柱10、一个好汉三个帮将下面的题做完反思用到上面那些模型？8．[2012·福建卷]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．(1)求证：B1E
2、⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．解：(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0,0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，E，B1(a,0,1)，故AD1＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)，使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．又设平面B1
3、AE的法向量n＝(x，y，z)．∵n⊥平面B1AE，∴n⊥，n⊥，得取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，解得z0＝.又DP⊄平面B1AE，∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C.又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，∴AD1⊥平面DCB1A1.∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．设与n所成的角为θ，则cosθ＝＝.∵二面角A－B1E－A1的
4、大小为30°，∴
5、cosθ
6、＝cos30°，即＝，解得a＝2，即AB的长为2.13.[2012·四川卷]如图所示，在三棱锥P－ABC中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，平面PAB⊥平面ABC.(1)求直线PC与平面ABC所成的角的大小；(2)求二面角B－AP－C的大小．解：解法一（重视四川卷的传统解法）：(1)设AB的中点为D，AD的中点O，连结PO、CO、CD.由已知，△PAD为等边三角形．所以PO⊥AD.又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以∠OCP为直线PC与平面ABC所成的角．不妨设AB＝4，
7、则PD＝2，CD＝2，OD＝1，PO＝.在Rt△OCD中，CO＝＝.所以，在Rt△POC中，tan∠OCP＝＝＝.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arctan.(2)过D作DE⊥AP于E，连结CE.由已知可得，CD⊥平面PAB.根据三垂线定理知，CE⊥PA.所以∠CED为二面角B－AP－C的平面角．由(1)知，DE＝.在Rt△CDE中，tan∠CED＝＝＝2.故二面角B－AP－C的大小为arctan2.解法二：(1)设AB的中点为D，作PO⊥AB于点O，连结CD.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AD，所以PO⊥平面ABC.所以PO⊥CD.由
8、AB＝BC＝CA，知CD⊥AB.设E为AC中点，则EO∥CD，从而OE⊥PO，OE⊥AB.如图，以O为坐标原点，OB、OE、OP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系O－xyz.不妨设PA＝2，由已知可得，AB＝4，OA＝OD＝1，OP＝，CD＝2.所以O(0,0,0)，A(－1,0,0)，C(1,2，0)，P(0,0，)．所以＝(－1，－2，)，而＝(0,0，)为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，则sinα＝＝＝.故直线PC与平面ABC所成的角的大小为arcsin.(2)由(1)有，＝(1,0，)，＝(2,2，0)，设平面APC的一
9、个法向量为n＝(x1，y1，z1)，则⇔⇔从而取x1＝－，则y1＝1，z1＝1，所以n＝(－，1,1)．设二面角B－AP－C的平面角为β，易知β为锐角．而面ABP的一个法向量为m＝(0,1,0)，则cosβ＝＝＝.故二面角B－AP－C的大小为arccos.下面复习一些小题中，不好建系的内容，我们仍然对其归类。常见的载体有：空间四边形，正方体，半平面，普通棱锥，棱锥，平行垂直的平面等。常见的方法有：平移，翻折，割补，按载体归类，然后每个问题涉及的模型和方法自己有意识归纳。一．空间四边形。例1.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问此截面在
