立体几何的模型转换

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1、直击高考思想方法系列之立体几何问题的模型化处理中学立体几何的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关系的讨论和研究。高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明。通常利用“构造模型法”突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力。常见的模型有正方体模型、长方体模型、“三节棍”模型等。一、构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时，通常可考虑构造正方体模型，把这些线、面变成正方体的线段或某一面，进而加

2、以解决。例1对于直线m、n和平面，下面问题中的真命题是（）A.如果m、n是异面直线，那么n∥B.如果m、n是异面直线，那么n与a相交C.如果n∥a，m、n共面，那么m∥nD.如果m∥a,n∥a，m、n共面，那么m∥n分析：构造正方体，如图1.对于选项A，设a为平面ABCD，m为AB，n为C1C，则n⊥a，故A错。对于选项B，设a为平面ABCD，m为AB，n为A1D1，则n∥a，故答案B错。对于选项D,设a为平面AC，m为A1B1，n为B1C1，此时m与n相交于B1，故答案D错。∴正确答案为C，事实上，设a为平面ABCD，m为AB，n为

3、A1B1，∵AB∥A1B1，∴m∥n.例2由空间上一点O出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角。解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O到四个顶点A、B、C、D连线所夹的角相等，则∠AOD就是所求的角。设正方体的棱长为a，则,,则所求角为.评注：这个例子是把一个正四面体内接于一个正方体中。因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决。正四面体的体积是它外接“正方体”体积的.即，并可由这个模型推导出正四面体的体积(a为四面体的棱长）。例3已知平面及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（

4、2）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥；（3）正四面体。问这三个几何体在平面上的射影可以为正方体吗？请加以说明。分析：对于（1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起至一定高度可使其在底面（即水平面）上的射影可变为正方形。对于（2）与（3）的判断，须借助构造正方体方能判断。对于（2），如图3，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别在BB1、DD1上取E、F，使得，则四棱锥A1－AEC1F符合条件。对于（3），把正四面体A1－BC1D放在正方体ABCD－A1B1C1D1，如图4，即可得其在底面a上射影为正方形。评注：对于（2）

5、、（3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得到一个正方形。例4已知PA⊥平面ABC，∠ACB=90°,PA=AC=BC,求AB与PC所成的角。解：构建一个正方体，如图5，PC与AB两异面直线所成的角为DB与AB所成的角，而△ABD是等边三角形，∴PC与AB成60°角。评注：此题为巧建“正方体”模型快速求解两异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交。二、构造长方体模型解题在某些类似的问题，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型。例5过球O的球面上一点P作球的两两垂直的三条弦

6、PA、PB、PC，且PA=，PB=，PC=，求球O的半径。分析：构造长方体，以P为顶点的三条棱PA、PB、PC两两垂直，球O就是这个长方体的外接球，对角线PD就是球O的直径，设半径等于R，则有，.评注：从同一点出发的三条棱两两相互垂直，其长度分别为a、b、c，就可以构造长方体模型，外接圆的直径就是对角线的长，所以.例6已知四面体的四个面都是边长分别是5、6、7的全等三角形，求这个四面体的体积。分析：若按常规思路，这个问题的解答很繁.通过分析已知条件，构造长方体ABCD－A1B1C1D1，如图6，其中四面体D1AB1C符合条件。令AC=

7、5，B1C=6，AB1=7，由勾股定理得AB2=19,BC2=6,AA12=30.∴.评注：若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的.例5是全日制普通高中教科书《数学》第二册（下A）第73页例2的改编题，该题是2003年全国高考理科第12题和2005年辽宁省高考题理科17题中第3小题的原形题。三、构造“三节棍”模型解题《全日制普通高中教科书（实验修订本·必修）》第二同（下B）第80页复习参考题九第2题给出了三条棱AB、BC、CD两两互相垂直的四面体ABCD（图7），这是一个很有用

8、的几何模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质：（1）CD⊥平面ABC，AB⊥平面BCD；（2）相邻两节所在三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE⊥面ACD，CF⊥面ABC），此四面体的三条两两