立体几何解题模型

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1、增强模型意识，口算解题不再是梦想新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：1、长方体的“一角”模型P在三棱锥PABC中，PAPBPB,,PCPCPA，ca且PAaP

2、B,,bPCc.bAC①三棱锥PABC的高abchB222222abbcca证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD.在△PAD中：Pbca()bc22abccaPH222222b22bcabbccaa()22ACbcHD②二面角PBCAP,,CABPABC的平面角分B别是：222222abcbaccabarctan,arctan,arctan.bcacab例1、四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA

3、面ABCDPA,1，求ADPB的大小.分析：考虑三棱锥APDB，它就是模型1－长方P体的“一个角”.本来我们可以利用结论②解：设二面角ADPB的大小为.DABC122ABPAAD12166则：tan，故arctanPAAD1222我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角DABE中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离.DC分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥

4、面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BFAB在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂E直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.CD补充图形，在正方体ABCDABCD看问题.在这O1111里看直二面角的局部图形.D1C1问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求OFAB点到面AB1

5、C的距离.E因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求BAB11到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.3223BCBABB2,BF1234323所以，D到面ACE的距离为.3点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，2这就使我们在运算过程中

6、得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松.例3底面为ABCD的长方体被截面C1FAEC1F所截，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BED＝1（见图），求C点到面AECC1F的距离.NE分析：这也是一道高考题，在评分标准ABM中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C1E交CB延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM是模型2.CMCCCM31因为,,CM3CNBCBECM21CNCCCN31同理,,CN12.CNCDDFCN

7、423312433所以，C到面C1MN的距离为：.9991449144112、公式coscoscos的几何模型12PA平面，PB是的斜线,B,AB是PB在内的射影，BC是内一条直线PBC,PBA,ABC,则有coscoscos.1212PP11ABBA22CCD大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个是12，另外两个就是,.12特别的，内的直线不一定过B，如上面的右图所示：3在直线AB上有一点D，过D

8、在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，PBA,.ADC则coscoscos1212那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角.例4EA⊥面ABCD，ABCD是边长为2的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成60角.EPAE1分析：APM2EPMADcosEPAco