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1、华东第四版数学分析答案【篇一：数学分析上册第三版华东师范大学数学系编】部分习题参考解答p.4习题1．设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a+x是无理数；（2）当a?0时，ax是无理数。证明（1）（反证）假设a+x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知x=a+x–a是有理数。这与题设“x为无理数”矛盾，故a+x是无理数。（2）假设ax是有理数，于是x?ax是无理数。5．证明：对任何x?r有（1）
2、x?1
3、?
4、x?2
5、?1；（2）
6、x?1
7、?
8、x?2
9、?
10、x?3
11、?2证明（1）1?
12、(x?1)?(x?2)
13、?
14、x?1
15、?
16、x?2
17、（2）因为2?
18、x?3
19、?
20、2?(
21、x?3)
22、?
23、x?1
24、?
25、x?1
26、?
27、x?2
28、，所以
29、x?1
30、?
31、x?2
32、?
33、x?3
34、?26．设a,b,c?r证明
35、?axa是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故a?b22?a?c22
36、?
37、b?c
38、证明建立坐标系如图，在三角形oac中，oa的长度是a?b，oc的长度是a?c，ac的长度为
39、b?c
40、。因为三角形两边的差大于第三边，所以有2222
41、a?b22?a?c22
42、?
43、b?c
44、7．设x?0,b?0,a?b，证明a?xb?xa?bb?xa?xb?x介于1与abab之间。证明因为?1??
45、a?b
46、b??1，a?xb?xa?xb?x?abab?(b?a)xb(b?
47、x)?
48、a?b
49、b?ab?1所以介于1与之间。p是无理数。p?nm8．设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则证明（反证）假设p为有理数，则存在正整数m、n使得，其中m、n互素。于是m2p?n2，因为p不是完全平方数，所以p能整除n，即存在整数k，使得n?kp。于是m2p?k2p2，m2?k2p，从而p是m的约数，故m、n有公约数p。这与“m、n互素”矛盾。所以p.9习题2．设s为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）s无上界；若?m，?x0?s，使得x0?m，则称s无上界。（请与s有上界的定义相比较：若?m，使得?x?s，有x?m，则称s有上界）（2）s无界
50、。若?m?0，?x0?s，使得
51、x0
52、?m，则称s无界。（请与s有界的定义相比较：若?m?0，使得?x?s，有
53、x
54、?m，则称s有界）3．试证明数集s?{y
55、y?2?x,x?r}有上界而无下界。2证明?x?s，有y?2?x?2，故2是s的一个上界。2p是无理数。1而对?m?0，取x0?集s无下界。23?m，y0?2?x0??1?m?s，但y0??m。故数4．求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）s?{x
56、x2?2,x?r}解sups?类似进行）。?x?s，有?下面依定义加以验证sups?2，infs??2。2（infs??2可2?x?2，即2是s的一个
57、上界，?2是s的一个下界。2???2，则由实???2，若???2，则?x0?s，都有x0??；若?2???r?数的稠密性，必有实数r，使得?sups?2。2，即r?s，?不是上界，所以（2）s?{x
58、x?n!,n?n?}解s无上界，故无上确界，非正常上确界为sups???。infs?1。?x?s，有x?n!?1，即1是s的一个下界；???1，因为1?1!?s，即?不是s的下界。所以infs?1。(3)s?{x
59、x为(0,1)内的无理数}解仿照教材p.6例2的方法，可以验证：sups?1。infs?07．设a、b皆为非空有界数集，定义数集a?b?{z
60、z?x?y,
61、x?a,y?b}证明：（1）sup(a?b)?supa?supb；（2）inf(a?b)?infa?infb证明（1）因为a、b皆为非空有界数集，所以supa和supb都存在。?z?a?b，由定义分别存在x?a,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，即supa?supb是数集a?b的一个上界。2（要证?不是数集a?b的上界），??p???supa?supb，usb?pusa，由上z0?a?b。因此supa?supb是数集a?b的上确界，即sup(a?b)?supa?supb另证?z?a?b，由定义分别存在x?a
62、,y?b，使得z?x?y。由于x?supa，y?supb，故z?x?y?supa?supb，于是sup(a?b)?supa?supb。①由上确界的定义，???0，?x0?a，使得x0?supa?y0?supb??2，?y0?b，使得?2，从而sup(a?b)?x0?y0?supa?supb??，由教材p.3例2，可得sup(a?b)?supa?supb②由①、②，可得sup(a?b)?supa?supb类似地可证明：inf(a?b)?infa?infbp.15习题?2,?2]的分段线性函数，其图象如图。11．试问y?
63、x
64、是初等函数吗？解因为y?
65、x
66、?y?
67、x
68、
69、是初等函数。3x2，可
