知识归纳：函数应用题的几种常见模型

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1、函数应用题的几种常见模型函数应用题主要有以下几种常见模型：1、一次函数模型例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？分析：每月所赚的钱=卖报收入的总价—付给报社的总价。而收入的总数分为三部分：①在卖出400份的20天里，收入为；②在可

2、卖出250份的10天里在份报纸中，有250份报纸可卖出，收入为；③没有卖掉的份报纸可退回报社，报社付出的钱。注意写出函数式的定义域。解：设每天应从报社买份，易知。设每月赚元，得：因为在其定义域上为增函数，所以，当时，每月所获的利润最大，最大值为（元）。答：每天应从报社买进400份，才能使每月所获的利润最大，每月可赚1170元。评注：现实生活中很多事例可以用一次函数模型表示，例如：匀速直线运动的时间和位移的关系，弹簧的伸长和拉力的关系等，对一次函数来说，当一次项系数为正时，表现为匀速增长,即为增函数，一次项系数为负时为

3、减函数。2、二次函数模型例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售805/5万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为时，每年销售额将减少万件。据此，试问：（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求的范围；（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时的值。分析：将税务部门对商品A征收的税金表示出来，注意考虑一些实际情况。解：（1）设每年征收的税金为万元，则，由题意得：，解之得：。所以，

4、的范围是。（2）由题意知：，，由，当时，。答：当税率为4%时，税务部门获得最高税金128万元。评注：在第二问即二次函数求最值问题，一定要注意隐含条件。所以应用题中变量的取值范围是一个非常值得重视的问题。3、指数函数模型例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数（万人）与年份（年）的函数关系；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；5/5（4）如果20年后该城市人口总数不超过1

5、20万人，年增长率应该控制在多少？分析：本题为人口增长率问题，可以通过计算每年的城市人口总数与年份的关系，从而得到一般规律。解：（1）1年后该城市人口总数为：，2年后该城市人口总数为：，3年后该城市人口总数为：，年后该城市人口总数为：。（2）10年以后该城市人口总数为：（万）。（3）设年以后该城市人口将达到120万人，即，（年）。（4）设年增长率为，依题意有：，即，由计算器计算得：，，即年增长率应控制在0.9%以内。评注：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示。通常可以表示

6、为的形式。4、分段函数模型例45/5通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的兴趣激增；中间有一段时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设表示学生注意力随时间（分钟）的变化规律（越大，表明学生注意力越大），经过实验分析得知：,（1）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能坚持多少分钟？（2）讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较，何时学生的注意力更集中？（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，并且要求学生的注意力至少达到180，那么经过适当安

7、排，老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？分析：对于分段函数，分别求出各段中的最大值，通过比较就可以求出的最大值。解：（1）当时，是增函数，且。当时，是减函数，且。所以，讲课开始10分钟，学生的注意力最集中，能坚持10分钟。（2），所以，讲课开始后25分钟时，学生的注意力比讲课开始后5分钟更集中。（3）当时，令，则。当时，令，则。所以，学生的注意力在180以上所持续的时间。所以，经过适当安排，老师能在学生达到所需的状态下讲授完这道题目。评注：对于一些较复杂的问题，有时仅构造一个数学模型还不能根本解决问题，需先

8、后或年同时构造、利用几个函数模型，即分段函数模型方可。5、幂函数模型5/5例5在固定电压差（电压差为常数）下，当电流通过圆柱体电线时，其强度与电线半径的三次方成正比。（1）写出函数解析式；（2）若电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，求电流通过半径为毫米的电线时，其电流强度的表达式；（3）已知（2）中的电流通过的电线半径为5毫米，计