同济大学高等数学课件.ppt

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1、第七节无穷小的比较本节通过对无穷小的阶的讨论，研究一些较为复杂的极限.并通过等价无穷小的替换来简化某些极限的计算.主要内容有本节要点一、无穷小的阶二、等价无穷小的替换一、无穷小的比较我们知道，若是两个数，则比较两数的大小的方法是计算若设是无穷小，因仍然是无穷小，即即上面的方法没有什么意义。那么是否说明无穷小之间不存在“大小”关系呢？通过下面的图示，我们来观察当时函数的变化趋势.在上图中可以看到：当时，几乎以相同的速度趋于，而则以较快的速度趋于进一步地观察,我们发现则以比更快的速度趋于从中我们可以

2、看出，在无穷小之间也存在一个“大小”关系，而这个关系不能用他它们的差值来刻画，我们考虑是否能用它们的商来刻画，即通过比值来确定，并且这个比值用自变量的某个变化过程来做进一步的描述.具体地说，若变量是自变量在某个变化过程中的穷小，即我们考察极限为此，我们引入：定义：设是自变量在某个变化过程中的两个无穷小，⑴若则称是的高阶无穷小，记作；⑵若则称是的低阶无穷小；⑷若则称是的等价无穷小,记作.⑶若则称是的同阶无穷小；特别则称时是的阶无穷小；这里分式中加了绝对值记号是为了保证这个极限存在，例如则是时的无穷

3、小；如果与比较，极限不存在，则无法得知是几阶无穷小，而加了绝对值记号就能使得极限存在，从而获得一个无穷小函数关于的阶数。如果极限存在，则无需加绝对值记号。例如则时是的二阶无穷小。则时是的三阶无穷小。例1当时，为的几阶无穷小？解因即：为的一阶无穷小.例2当时，为的几阶无穷小？解因即为的2阶无穷小.证因为例3证明：当时，（利用）即例4求极限解此即说明：时，有例5求解令则，由此得到，当时，定理1是等价无穷小的充分必要条件为证：设，则即：反之，设则二、等价无穷小作为无穷小关系中的一个特殊形式，等价

4、无穷小在无穷小的讨论中具有一个很重要的地位.有了等价无穷小,可以大大简化某些极限的计算.定理2设且存在，则证此定理又称为等价无穷小的替换准则.值得注意的是：等价无穷小替换只能用于乘除法，而不能用于加减法。例如极限：但如用等价无穷小替换，则会导出这一错误的结论.等价无穷小的基本性质：设是无穷小，⑴自身性：⑵对称性：若则⑶传递性：若则注在数学上，我们将满足上面条件的关系称为等价关系.由此得到当时，常见的一些等价无穷小：现在我们再来给出一些常用的等价无穷小.我们来证明由于所以令当时且例6求解注意到所

5、以，例7求解当时，所以又所以例8求解因当时，故例9求解因而当时，所以例10求解因当时，故：学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的，新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意与点子。一味地接受工作的交付，只能学到工作方法的皮毛，能思考应变的人，才会学到方法的精髓。学习动物精神12、善解人意的海豚：常常问自己：我是主管该怎么办才能有助于更好的处理事情的方法。在工作上善解人意，会减轻主管、共事者的负担，也让你更具人缘。谢谢大家！学习动物精神11、机智应变的猴子：工作的

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