同济大学 高等数学 课件 .ppt

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1、第四节极限的性质本节主要讨论函数极限的性质，数列极限的性质可以平行地得到。函数极限的性质主要包括一、唯一性二、局部有界性三、局部保号性四、归并性本节要点定理1(极限的唯一性)如果极限存在，则极限是唯一的.证（仅证数列的情况，函数的极限性质的证明可以平行地得到.）设且假如因为当取时，当时，有取则当时有，这是矛盾的，所以因为当取时，当时，有定理2(局部有界性)如果极限存在，那么在的某个空心邻域内，函数有界.即：在的某个空心邻域内有界.证设，由定义，对存在当，即有局部有界的几何意义从图中可以看出局部有界的含义：函数在处的极限为，则存

2、在点x0的一个空心邻域当点在该邻域中，对应的函数图形在某一个带形区域中，而该邻域外的点所对应的函数图形，则可能呈现无规律的变化状态.xyoA+1A-1A定理(有界性)如果极限存在，那么存在使得对所有的，有推论若数列无界，则极限不存在.证设，由定义，对存在当时，有从而取，则对所有的，有。定理3(极限的保号性)如果，则存在点的某个空心邻域内，使得在该领域中有：当时，有证设，由定义，对存在xyo3A/2A/2A推论在的某个空心领域中，有且则例时但注意：如果推论的条件改成（严格大于），则不能推出证设，则存在当有设存在，又设是函数定义域中

3、的一个任意数列，且则此数列相应的函数值数列收敛，且定理4(函数极限的归并性)因而即此定理的一个实际意义是：对函数，如果能够找到两个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函数在这一点无极限.又因故对，存在，当时，有即证令则但所以不存在.例证明函数在时极限不存在.对于数列，相应的归并性定理为所以，不存在.定理设数列存在，则对于的任一子列有用此定理，即可说明数列的极限不存在。事实上：则，值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明的存在，但对数列，若数列的两个子列满足：思考：对于数列而言，这个性质说明的本质问题是什么？你是否

4、能给出一个一般结论并证明之.证：设则当时，当时，取当时，