浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末答案.doc

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1、浙江大学2007-2008学年春夏学期《线性代数》期末答案一、填空题（每空3分）1．设，则（）。2．设4阶矩阵，则（25A）。3．设是实数域上的全体反对称矩阵所构成的线性空间，即。写出的一组基（）。的维数是（6）。设4阶矩阵，写出在上面这组基下的坐标（）。4．设是3阶矩阵，且，则的特征值是（0），（0），（-1）。二、计算题。1．计算行列式（12分）。解：略。=34560。1．已知齐次线性方程组问(1)a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解。（答：两两互异。具体略）(2)a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多解，并用基础解系表示他的全部

2、解。（要分四种情况讨论，具体略）2．已知向量组与向量组有相同的秩，且可以由线性表示。求的值，并写出由线性表示的一个表达式。（答：a=15,b=5。具体略）3．设A,B都是3阶实可逆矩阵，A的特征值是，这里是互不相同的正整数，若B的特征值是-5，1，7，，求，并分别写出与相似的对角形矩阵。解：因为A的特征值是，，所以的特征值为，的特征值为。因为B的特征值是-5，1，7，所以可令。因为是互不相同的正整数，解得。所以与相似的对角形矩阵分别为…。1．已知二次型。（1）写出二次型的矩阵。（2）用正交线性替换化二次型为标准形。（3）求实对称矩阵B使得。

3、解：（1）二次型的矩阵为。（2）使用实对称矩阵对角化的方法，具体略。（3）因为，令，则有。令，则且B为实对称矩阵。二、证明题。1．设A是实对称矩阵，B是正定矩阵。求证AB的特征值全是实数。证：因为B是正定矩阵，所以存在可逆矩阵C使得。所以AB与矩阵相似。因为A是实对称矩阵，所以是实对称矩阵，所以的特征值全是实数，从而AB的特征值全是实数。2．设A是矩阵，B是矩阵，r(B)=t。令为齐次线性方程组的一个基础解系，设，这里为的前n个元素。求证线性无关。证：因为为齐次线性方程组的一个基础解系，所以，即。假设(1)。因为，所以。由(1)知道，。因为

4、r(B)=t，所以。再结合(1)可得。由于现行无关，所以，即线性无关。