2007-2008学年秋冬学期期末考答案

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1、浙江大学2007-2008学年秋冬学期《线性代数I》期末考试答案1．求线性方程组的解集。解：略。2．在中有四点。求由所张成的平行六面体的体积。解：由所张成的平行六面体的体积为（下略）注：2008-2009学年秋冬学期学生不做要求！3．和是的两组有序基。设线性变换关于基B的矩阵表示是。求T关于基的矩阵表示。解：基B到基的过渡矩阵为M=(略)。因为T关于基B的矩阵表示是，所以T关于基的矩阵表示为（略）。4．设V是n维线性空间，是线性映射，是V的恒等映射。已知是T的n个互异的特征值，是其对应的特征向量。求线性映射的全部特征值和一组对应于他们的特征向量。解：因为是T的n个互异的特征值，是其对应

2、的特征向量，所以，所以所以是的n个特征值，是一组对应于他们的特征向量。5．线性变换的定义是。（a）给出的特征多项式。（b）给出的特征值。（c）判断是否可对角化，并给出理由。解：（a）因为关于的常用基的矩阵为，所以的特征多项式为（略）。（b）解得的特征值为（略）。（c）参考矩阵对角化的判断方法，略。6．实二次型的定义分别是。（a）给出分别对应于的实对称矩阵。（b）给出的正惯性指数和负惯性指数。（c）判断是否相合于。如果是，他们的相合规范形是什么？解：略。7．计算实矩阵，其中n是任一整数。解：设。因为，所以可以猜测。下面用数学归纳法证明之。（略）8．证明若同时是正交矩阵和上三角矩阵，则是对

3、角矩阵。证：因为A是上三角矩阵，所以可设。又因为是正交矩阵，所以，即所以有。解之依次可得：。所以是对角矩阵。9．证明或举反例否定下面命题。（a）当时，n个变量m个方程的线性方程组一定有解。解：这个命题是错误的。比如方程组满足条件，但无解。（b）可逆的方阵的伴随矩阵也是可逆的。解：这个命题是正确的。因为：假设是一个可逆矩阵，则有，所以，即可逆，且。（c）若矩阵相合于矩阵，则相似于。解：这个命题是错误的。比如矩阵相合于矩阵，但不相似于（a）两个正定二次型的和是正定二次型。解：这个命题是正确的。因为：设是正定二次型，则对任意的非零,有，从而他们的和。所以两个正定二次型的和是正定二次型。