2007-2008学年秋冬学期期末考答案

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1、浙江大学2007-2008学年秋冬学期《线性代数I》期末考试答案1.求线性方程组的解集。解:略。2.在中有四点。求由所张成的平行六面体的体积。解:由所张成的平行六面体的体积为(下略)注:2008-2009学年秋冬学期学生不做要求!3.和是的两组有序基。设线性变换关于基B的矩阵表示是。求T关于基的矩阵表示。解:基B到基的过渡矩阵为M=(略)。因为T关于基B的矩阵表示是,所以T关于基的矩阵表示为(略)。4.设V是n维线性空间,是线性映射,是V的恒等映射。已知是T的n个互异的特征值,是其对应的特征向量。求线性映射的全部特征值和一组对应于他们的特征向量。解:因为是T的n个互异的特征值,是其对应

2、的特征向量,所以,所以所以是的n个特征值,是一组对应于他们的特征向量。5.线性变换的定义是。(a)给出的特征多项式。(b)给出的特征值。(c)判断是否可对角化,并给出理由。解:(a)因为关于的常用基的矩阵为,所以的特征多项式为(略)。(b)解得的特征值为(略)。(c)参考矩阵对角化的判断方法,略。6.实二次型的定义分别是。(a)给出分别对应于的实对称矩阵。(b)给出的正惯性指数和负惯性指数。(c)判断是否相合于。如果是,他们的相合规范形是什么?解:略。7.计算实矩阵,其中n是任一整数。解:设。因为,所以可以猜测。下面用数学归纳法证明之。(略)8.证明若同时是正交矩阵和上三角矩阵,则是对

3、角矩阵。证:因为A是上三角矩阵,所以可设。又因为是正交矩阵,所以,即所以有。解之依次可得:。所以是对角矩阵。9.证明或举反例否定下面命题。(a)当时,n个变量m个方程的线性方程组一定有解。解:这个命题是错误的。比如方程组满足条件,但无解。(b)可逆的方阵的伴随矩阵也是可逆的。解:这个命题是正确的。因为:假设是一个可逆矩阵,则有,所以,即可逆,且。(c)若矩阵相合于矩阵,则相似于。解:这个命题是错误的。比如矩阵相合于矩阵,但不相似于(a)两个正定二次型的和是正定二次型。解:这个命题是正确的。因为:设是正定二次型,则对任意的非零,有,从而他们的和。所以两个正定二次型的和是正定二次型。

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