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1、复合函数的求导法则全微分形式不变性小结思考题作业第四节多元复合函数的 求导法则第八章多元函数微分法及其应用1一、复合函数的求导法则(链导法则)证1.中间变量为一元函数的情形.定理且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则具有连续偏导数,2可微由于函数有连续偏导数多元复合函数的求导法则3复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广导数变量树图三个中间变量称为全导数(又称链导公式).多元复合函数的求导法则4项数问:每一项中间变量函数对中间变量的偏导数该中间变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构多元复合函
2、数的求导法则5例设求这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二yuvx解法一可用取对数求导法计算.多元复合函数的求导法则6多元复合函数的求导法则复合函数为则复合函数偏导数存在,且可用下列公式计算两个中间变量两个自变量具有连续偏导数,2.的情形..yvvzyuuzyz¶¶¶¶+¶¶¶¶=¶¶7变量树图uv多元复合函数的求导法则)],(),,([yxyxfzyj=8解多元复合函数的求导法则例9中间变量多于两个的情形类似地再推广,复合函数在对应点的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量多元复合函数的求导法则10例设解自己
3、画变量树求多元复合函数的求导法则11只有一个中间变量即两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则3.的情形.把复合函数中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数12解zuxyxy变量树图例多元复合函数的求导法则求而,),sin(xyuyxezu=+=)cos(yxeu++13例设f具有二阶连续偏导数,变量树图ursxt或记u对中间变量r,s的偏导数注从而也是自变量x,t的复合函数.解都是x,t的函数,对抽象函数在求偏导数时,一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则,1frf¢=¶¶2fsf¢=¶¶sf¶¶,rf¶¶14u
4、rsxt变量树图设f具有二阶连续偏导数,多元复合函数的求导法则15ursxt变量树图设f具有二阶连续偏导数,多元复合函数的求导法则srf¶¶¶2rsf¶¶¶216多元复合函数的求导法则解练习具有二阶连续偏导数,且满足2003年考研数学三,8分故),(vuf17由例解现将把下列表达式转换为极坐标系中的形式:设的所有二阶偏导数连续,函数换成极坐标的函数:及以及函数对的偏导数来表达.多元复合函数的求导法则18复合而成.ruθxy(1)及多元复合函数的求导法则19得ruθxy多元复合函数的求导法则20(2)ruθxy设的所有二阶偏导数连续多元复合
5、函数的求导法则21同理可得(自己练)多元复合函数的求导法则22两式相加,得:多元复合函数的求导法则23多元复合函数的求导法则例假设流体中一质点的运动速度为其中由于质点随流体运动,故其位置也随时间t而变化.试求质点运动的加速度答案时变加速度位变加速度24已知f(t)可微,证明满足方程提示t,y为中间变量,x,y为自变量.引入中间变量,练习则多元复合函数的求导法则25二、全微分形式不变性具有连续偏导数,则有全微分则有全微分全微分形式不变性的实质多元复合函数的求导法则26称为一阶全微分形式不变性27说明可以利用一阶全微分形式不变性和下列微分运算
6、法则求全微分或偏导数28解例利用一阶全微分的形式不变性求29解例通过全微分求所有一阶偏导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则30答案：多元复合函数的求导法则练习31解多元复合函数的求导法则练习32解设多元复合函数的求导法则有连续的二阶导数,练习),(),sin,2(vufxyyxfz其中设-=33解设多元复合函数的求导法则练习连续的二阶导数,有其中设),(),,sin(22vufyxyefzx+=yefxvucos(¢¢34求在点(1,1)处可微,且设函数解2001年考研数学一,6分多元复合函数的求导法则练习由
7、题设35多元复合函数求导法则(链导法则)全微分形式不变性(理解其实质)多元复合函数的求导法则三、小结(大体分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导36思考题多元复合函数的求导法则正确的是().37思考题解答令则两边对t求导,得多元复合函数的求导法则38
