费马原理的最新表达形式及其应用.doc

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1、费马原理的最新表达形式及其应用马国梁（山东省章丘市第一职业中专明水）《中国当代思想宝库》2006/6/发表网上发表时间:2006/10/3108:10点击:178次摘要本文从另一角度提出了费马原理的表达形式，并据此推出了球面平行介质和平面平行介质的折射方程.关键词费马原理折射方程在一般教科书和报刊中，常将费马原理写成如下的微分形式d（∫ndl）=0(积分区间A→B)（1）式中n为介质的折射率，A、B是空间中固定的两点，dl为连接A、B两点空间曲线上的微元段。然而在实用上，这个公式却极不方便。它使推导过程及结果往往都变得非常复杂。笔者经研究发现，费马原理还有另外一种

2、表达形式，其微分式是d(nrsinα)=0（2）式中α是光线与介质中微元面法线的夹角，在该微元面上折射率处处相等；r是在由光线与法线决定的平面内微元面的曲率半径。虽然n、r和sinα都在随地点变化，但其乘积却始终保持不变。该公式适用于光在所有不均匀介质中的折射情况。在有些情况下用起来特别方便。1.在球面平行介质中，因每个微元面的法线都在其半径方向上，此时折射率只是其半径的函数。n=n(r)（3）设光线的出发点仍然是A，则根据（2）式得nrsinα=nArAsinαA（4）在球心极坐标系中，设极角为φ因为dφ=drtanα/r=drsinα/rsqrt(1-sinα

3、sinα)所以将（4）式代入此式可求得得dφ=dr/rsqrt[(nr/nArAsinαA)^2–1]（5）这就是光线在球面平行介质中的折射方程。它适用于宇宙中所有星球表面的大气折射。例如在地球表面上，沿地平线穿过大气层发射到太空中的光线偏折角可这样计算.设n=1+（n。-1）e^[-(r-r。)/H]（6）其中no=1.ro=6371kmH=8km那么利用（5）式积分，r的积分区间是从ro→∞可得光线所对的地心角是φ=90°39.7′光线的偏转角为39.7′，这与实际情况是相符的。2.在平面平行介质中，因为各微元面的曲率半径都相等且为无穷大，所以（2）式变为d(

4、nsinα)=0（7）由此可以推出现在最为常见的形式n1sinα1=n2sinα2（8）此公式不仅适用于折射率渐变的介质，也适用于折射率突变（有分界面）的两种介质间的光折射。在平面平行介质中，折射率只是其垂直方向上高度的函数。即n=n(y)（9）则由nsinα=nAsinαA和dx/dy=tanα可推得dx=dy/sqrt[(n/nAsinαA)^2–1]（10）当然，在r=rA→∞时，由于r/rA=1，再令rdφ=dx、dr=dy，故由（5）式也可推得此式。即平面平行介质只是球面平行介质的特殊情况。再将n=n(y)式代入（10）式，即可得光线在平面平行介质中的折

5、射方程。dx=dy/sqrt[(n(y)/nAsinαA)^2–1]（11）解此微分方程即得到光的折射路径方程。例如在地面附近，当研究由大气折射所形成的“海市蜃楼”现象时即可用此法求解。此时可设n=no-ky，nA=no，αA=αo，将之代入（10）式可最后解得x=(n。sinα。/k)ln[n。(1+cosα。)/(n。-ky+sqrt((n。-ky)^2-(n。sinα。)^2))]（12）光的折射路径会随发射角αo的变化而变化。当sinαo>1/no时即将在远处产生“蜃景”。其详情不再赘述。参考文献：[1]芮策等.试析“海市蜃楼”现象[J].大学物理.199

6、1.10（10）：44~46[2]尹增谦等.渐变折射率介质中光线路径的数值计算[J].大学物理.2003.3（3）：8~10