将军饮马问题例题及应用.doc

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1、将军饮马问题例题及应用一，简介唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后，再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？”从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．二，例题1，基本类型

2、问题问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？解答：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C，如图所示，由对称的性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．2，与其他类型问题相结合问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决问题如图1，等腰直

3、角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为（）；解答：作点B关于AC的对称点B′，连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′．AB′=AB=√AC2+BC2=√22+22=2√2AB=√2∵∠B′AC=∠BAC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=√B′A2+AE2=√(2√2)2+(√2)2=√10