基于MATLAB的线性二次型最优控制设计.doc

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1、基于MATLAB的线性二次型最优控制设计1.引言最优控制问题就是寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。以状态空间理论为基础的最优控制算法是当前振动控制中采用最为普遍的控制器设计方法。本文所讨论的系统是完全可观测的，所以可以用线性二次型最优控制。本实验介绍了线性二次型最优控制的基本原理，并给定了一个具体的控制系统，利用MATLAB软件对其最优控制矩阵进行了求解，通过仿真实验，设计所得到的线性二次型最优控制效果比较好，达到了设计的目的。2.最优控制理论介绍假设线性时不变系统的状态方程模型为x‘(t)=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t

2、)+Du(t)引入一个最优控制的性能指标，即设计一个输入量u,使得J=为最小。其中Q和R分别为对状态变量和输入变量的加权矩阵;tf为控制作用的终止时间。矩阵S对控制系统的终值也给出某种约束，这样的控制问题称为线性二次型（LinearQuadratic，简称LQ）最优控制问题。为了求解LQ问题，我们取Hamilton函数其中一种较为简便的解法为：令(t)=P(t)x(t)而将对(t)的求解转化到对函数矩阵P(t)的求解`，特别的，将(t)=P(t)x(t)-4-代入上述式子中可得函数矩阵P(t)因满足的微分方程是(1)对它的求解可应用成熟的Euler方法。假定方程(1)的唯一

3、对称半正定解P(t),则LQ问题的解u(t)由下式给出：1.问题的阐述与解决3.1.问题的阐述：极小[1]，并仿真，输出x1、x2、J的波形。3.2.问题的求解：根据系统的状态空间方程，可以看出A=[01;00],B=[0;1],Q=[10;01],R=[1]。控制系统工具箱供了lqr()函数[4]，用来依照给定的加权矩阵设计LQ最优控制器,该函数的调用格式为:[K,P]=lqr(A,B,Q,R)式中：（A,B）为给定的的对象状态方程模型；（Q,R）分别为加权矩阵Q和R;返回的向量K为状态反馈向量,也就是控制器,P为Riccati代数方程的解。在本题中，可用下面的MATLA

4、B代码求解K和P:-4-clearA=[01;00];B=[0;1];Q=[10;01];R=[1];[K,P]=lqr(A,B,Q,R)解得：K=[1.00001.7321]因此，最优控制信号为û(t)=-Kx(t)=-x1(t)-1.7321x2(t)3.3.利用仿真给定的控制系统:将给定的控制系统进行变形，如下：x1’(t)=x2(t)x2’(t)=u(t)u(t)=-x1(t)-1.7321x2(t)根据以上方程组，利用SIMULINK对系统进行仿真[2]，其中u(t)用x1(t),x2(t)负反馈[3]表示，.最终可做出仿真系统，如图1所示。根据状态空间方程，利用

5、SIMULINK可画出如图1所示的仿真图。图1仿真图当K=[1.00001.7321]，即取最优控制时，运行该仿真，求得J=7.61-4-，并得出了x1(t)、x2(t)、J的波形，如图2，图3，图4所示。图2x1(t)的波形图3x2(t)的波形图4J的波形由图2,图3可知，系统的状态向量[5][x1(t),x2(t)]T最终趋于0，而二次性能指标J同时趋于稳定值7.61。至此，线性二次型最优控制系统已经仿真完成。1.结论本文介绍了线性二次型最优控制的基本原理，并给定了一个具体的控制系统，利用MATLAB软件对其最优控制矩阵进行了求解，最后用SIMULINK对所求解的系统进

6、行了仿真。通过仿真实验，设计所得到的线性二次型最优控制效果比较好，达到了设计的目的。-4-