线性二次型最优控制.doc

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1、Chapter7线性二次型最优控制稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。用稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。7.1二次型最优控制在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能

2、量的控制方式更具实际意义。对于（7-1）系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述：（7-2）是对称正定（半正定）加权矩阵，是对称正定加权矩阵，他们反映了设计者对状态和控制中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。通常状态衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找、，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器，使最小。若系统的状态是可以直接测量

3、的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：（7-3）将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得（7-4）若系统是渐近稳定的，矩阵所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵的二次型函数，利用系统的稳定性可得对上式“下划线”部分“+”“-”进行配平方得到可得（7-5）求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵，是性能指标最小化。由（7-5）只有第三项依赖于矩阵，而且是非负的，只有当第三项等于零才能最小，当且仅

4、当（7-6）依赖于正定对称矩阵，特别是当可以找到一个，满足方程（7-7）此时（7-8）闭环系统方程为（7-9）最优状态反馈控制器为（7-10）可以证明，确实有(利用了的对称性)(利用了、、的正定对称性)这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）是稳定的。稳定化的最优控制状态反馈控制器的设计步骤小结：（1）求解方程（7-7），结合利用矩阵正定性、对称性要求，确定；（2）将求得的正定对称矩阵代入（7-10）如果二次性能指标中是输出向量，即相当于例7-1（例7.1.2）对如图控制系统（虚线框部分方程，显然系统只是“临界”稳定的），设

5、计一个最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小（对称正定）。解：写出方程上式有三个独立方程，再结合利用正定性要求，其解为于是，系统的最优控制器为此时，相应的闭环系统为，特征值为（系统是渐近稳定的）。7.2应用Matlab求解二次型最优控制在Matlab中，函数（7-11）给出了相应二次型最用控制问题的解。函数输出变量中的是最优反馈增益矩阵，是方程（7-7）的对称正定解矩阵，是最优闭环系统的极点。例7-2（例7.2.2）对系统，设计一个最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小（为3阶单位矩阵）。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控

6、制器，执行以下m-文件；；；；可得因此，系统的最优状态反馈控制器为检验最优闭环系统对初始状态的响应，执行以下m-文件；；；；；；得到如图响应曲线例7-3（例7.2.3）系统，，其中，设为参考输入，控制信号（如图所示）。为了获得快速响应，加权系数，性能指标为求条件下系统的最优状态反馈控制器，使系统性能指标最小，并检验最优闭环系统在的输出相应。解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，当，执行以下m-文件；；；；可得最优闭环系统的状态方程为输出方程为执行以下m-文件检验的输出响应；；；；；；%闭环系统状态空间模型参数；；；；；7

7、.3离散时间系统的线性二次型最优控制考虑离散自治系统（7-12）系统的性能指标为（7-13）类似于连续系统参数优化，根据稳定性理论，对给定的对称正定矩阵,由（7-12）的稳定性，可得离散时间方程（7-14）存在一个正定对称解矩阵，因此（7-15）是系统（7-12）的一个函数。它沿系统（7-12）任意轨迹的差分利用（7-14）可得（7-16）（7-16）两边并利用系统的渐近稳定性可得（中间相抵消）（7-17）这表明，只要能从（7-14）求得正定对称矩阵，代入（7-17）就可以求得性能指标，而无须求无穷级数（7-13）。例7-4

8、（例7.3.1）系统，，确定参数，使最小。解：系统极点是，因为，系统的两个极点在单位圆内，系统是渐近稳定的，系统性能指标为由离散时间的方程解出对称正定的可得三个方程解三个未知数对范围内的参数值，，因此系统的性能指标为对于，，表明单调上升，于是在时达到最小值。以下进一步讨论离散系统的线性二次