数值计算方法 孙延风版ppt课件.ppt

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1、第一章解线性方程组的直接法线性方程组对于n个变元m个方程所组成的线性方程组(1)当右端常数项b1=b2=…=bm=0时，称为n元齐次线性方程组，否则称为n元非齐次线性方程组。对于一般的线性方程组来说，所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1，k2，…，kn组成的一个有序数组(k1，k2，…，kn)，当x1，x2，…，xn分别用k1，k2，…，kn代入后，使(1)中的每个等式都变成恒等式。方程组(1)的解的全体称为它的解集合。如果两个方程组有相同的解集合，我们就称它们是同解的。写为矩阵形式简记为Ax＝b求解线性代数方程组的方法分类直接法假设计算过程

2、中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法。低阶稠密矩阵方程组迭代法从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。大型稀疏矩阵方程组直接法Gauss消元法矩阵的LU分解预备知识分别表示n维实和复向量空间，用　表示n×n阶实矩阵的向量空间.为实数为复数转置矩阵单位矩阵其中非奇异矩阵设　　　　　　　　　。如果AB＝BA＝I，则称B是A的逆矩阵，记为A-1，且。如果A-1存在，则称A为非奇异矩阵。如果均为非奇异矩阵，则矩阵的行列式设，则A的行列式可按任一行（或列）展开，即其中Aij为aij的代数余子式，Aij=(-1)i+

3、jMij,Mij为元素aij的余子式。行列式性质(a)det(AB)=det(A)det(B),(b)det(AT)=det(A),(c)det(cA)=cndet(A)(d)是非奇异矩阵.设对角矩阵如果当时，aij=0对称矩阵如果AT=A对称正定矩阵如果(a)AT=A,(b)对任意非零向量，正交矩阵如果A-1=AT上三角矩阵及单位上三角矩阵下三角矩阵及单位下三角矩阵设A是一个m×n矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等方阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等方阵。定理设，则下述命题等价：(1)对任

4、何,方程组Ax=b有唯一解；(2)齐次方程组Ax=0只有唯一解x=0；(3)(4)A-1存在(5)A的秩rank(A)=n.1.1Gauss消元法举例说明Gauss消元法求解过程计算方法第一章解线性方程组的直接法消元过程回代过程Gauss消元法分为两个过程消元过程把原方程组化为阶梯形方程组回代过程求解方程组的解Gauss消元法的基本思想用消元法解方程组实际上就是反复地对方程组进行以下三种变换将其化为阶梯形式求解：(1)用一个非零的数乘某一个方程；(2)把一个方程的倍数加到另一个方程上；(3)互换两个方程的位置。我们称这样的三种变换为方程组的初等变换

5、。可以证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。例1：解线性方程组(2)解：把第一个方程的-3，1，-2倍分别加到第二、三、四个方程上，使得在第二、三、四个方程中消去未知量x1:把第二个方程的-3，2倍分别加到第三、四个方程上，使得在第三、四个方程中消去未知量x2:消去第四个方程中的x3:(3)由此我们容易求出方程组的解为(-16，5，3，1)。例2解方程组解：由第三个方程得x3=3。代入第二个方程，得x2=1。再把x3=3，x2=1代入第一个方程，即得x1=-2。因此上述方程组有唯一解(-2，1，3)。解：用初等变换消去第二、三个方程中的x1:

6、再施行一次初等变换，得上述方程组无解。例3解方程组解：用初等变换消去第二、三个方程中的x1:再施行一次初等变换，得改写成最后得到其中x2是自由未知量。例4解方程组对于一个由m个方程n个变元构成的非齐次线性方程组：(1)设（如果，那么可以利用初等变换(3)使）。利用初等变换(2)分别把第一个方程的-ai1/a11倍加到第i个方程(i=2,3,…,m)。原方程组化为：(4)其中再对方程组(4)中第二个到第m个方程，按照上面的方法进行变换，并且这样一步步做下去，最后便可得到一个阶梯形方程组。设所得方程组为：(5)其中方程组(5)中的“0=0”是一些恒等式

7、，表明相应的方程在原方程组中为多余方程，故去掉以后并不影响方程组的解。（1）如果，则方程组(1)无解；（2）如果，则方程组(1)有解，且有(i)当r=n时，方程组(1)可以化为：(6)其中于是，我们可以由最后一个方程开始，将的值逐个地唯一地确定，得出它的唯一解。(ii)当时，方程组(1)可以化为：其中把它改写成(7)由此可见，任给一组值，就可以唯一地确定出的值，这样就定出了方程组(7)的一个解，一般地，由(7)可以把通过表示出来：(8)我们称(8)为方程组(1)的一般解，并称为一组自由未知量。易见，自由未知量的个数为n-r。小结Gauss消元法的初

8、等变换：(1)用一个非零的数乘某一个方程；(2)把一个方程的倍数加到另一个方程上；(3)互换两个方程的位置。非齐次线性方程