数字图像处理及MATLAB实现杨杰电子教案ppt课件.ppt

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1、第11章小波变换武汉理工大学信息学院11.1引言11.2离散小波变换11.3小波在图像处理中的应用11.1.1加窗傅里叶变换加窗傅里叶变换经典傅里叶变换是以全时域作为整体进行分析的，信号的时变特性得不到体现，为了分析非平衡信号，或信号的局域特性，人们发展了信号的时频分析法，加窗傅里叶变换（也称短时傅氏变换）就是其中的一种，它把非平稳信号看成是一系列短时平稳信号的叠加，而短时性则是通过时域上的加窗来获得.11.1.1加窗傅里叶变换加窗傅里叶变换的加窗傅氏变换定义为(11.1)其中称为窗函数。一般情况

2、下，为实函数且其傅氏变换的能量集中在低频处，它还可以看作是一低通滤波的脉冲响应，为了归一化，一般取11.1.1加窗傅里叶变换加窗傅里叶变换具有如下性质：(1)它从到是等距的，即(11.2)(2)可以由重构f(x),即(11.3)(3)加窗傅里叶变换是一信号的冗余表示，而且是稳定完备的。(4)如果对所有均匀采样，离散加窗傅里叶变换可定义为,且=(11.4)采样间隔和的选择必须覆盖整个相空间，由采样集合,重构的条件是算子D：有界可逆，且有=，(11.5)(5)加窗傅里叶分析的空域和频率分辨率是常数，在

3、空域这一分解表示所提供的信息在（为窗函数的标准偏差）内是非局域化的。11.1.2连续小波变换小波变换基底若基本小波函数为。伸缩和平移因子分别为a和b，则小波变换基底定义为(11.6)连续小波变换函数的连续小波变换定义为(11.7)写成内积形式即有(11.8)11.2.1离散小波变换离散小波变换（DWT）DWT可以通过离散化CWT中的尺度因子和平移因子得到。通常取(11.9)把其带入式(11.6)可以得到(11.10)相应的离散小波变换为特殊的，取，可以得到二进小波：在实际应用中，为了使小波变换的计

4、算更加有效，通常构造的小波函数都具有正交性，即11.2.2多分辨分析及Mallat算法一维正交多分辨分析及Mallat算法多分辨分析是用小波函数的二进伸缩和平移表示函数这一思想的更加抽象复杂的表现形式，它重点处理整个函数集，而非侧重处理作为个体的函数。MRA形成了构造正交小波基的一个框架，常用的B-样条正交小波基和Daubechies紧支撑正交小波基都可看作是该框架下的产物。下面就给出多分辨分析的严格定义：定义11.1称中的闭子空间序列为一个（二进）多分辨分析，如果满足下列条件：1)单调性：2)逼

5、近性：3)伸缩性：4)平移不变性：5)Riesz基存在性：存在函数，使得构成的一个Riesz基。即函数序列线性无关，且存在常数A和B，满足，使得对任意的，总存在序列使得且，则称为尺度函数，并称生成的一个多分辨分析特别的，若构成的一个标准正交基，则称为正交尺度函数，相应的，称生成的一个正交多分辨分析。若为尺度函数生成的中的多分辨分析，则必然存在系数序列，使得以下尺度关系，即两尺度方程成立：(11.11)在频域的表达式为(11.12)其中为系数序列的傅立叶变换。假设是数字滤波器的脉冲响应，则该式将离散

6、滤波器和多尺度分析联系起来。若，则是标准（规范）正交系，等价于恒等式对于几乎所有的成立。利用这个定理，可以通过将尺度函数正交化的方法，得到一个正交尺度函数。若令则，且构成的一个标准正交基，而对于任意的，构成一个标准正交基。从而生成一个正交多分辨分析。定理11.1设正交尺度函数生成了正交多分辨析，是满足两尺度方程的滤波器，令(11.13)其中，满足，则为小波，且它的平移系构成的标准正交基，其中是在中的正交补。从而，构成的一个标准正交基。上述定理等价为以下几点：1）是标准正交的。2）对任意。3）中的每

7、个函数都可表示为的线性组合。4）是一个小波，即。定理11.1是一个非常重要的定理，它给出了一种根据正交尺度函数来构造正交小波的一般方法。具体推导过程如下：1）由计算2）计算3）由，计算相应的傅立叶变换式4）根据小波方程的频域表示式计算上述构造正交小波基的整个过程可总结为，小波分解与重构的迭代过程a）小波分解过程b）小波重构过程图一维信号小波分解与重构的二通道滤波器组表示二维张量积多分辨分析及Mallat算法设和是由尺度函数和生成的两个多分辨分析。则可以得到和的张量积空间，由于的基底为，的基底为，所

8、以的基底为。对于二元函数，引入记号记则是的基底。这样就形成中的一个多分辨分析，就是相应的尺度函数。二维Mallat算法的滤波器组a）二维小波分解（括号中表示双正交滤波器）b）二维小波重构1.2.3紧支撑双正交小波基的构造双正交滤波器的约束条件有限滤波器，使得尺度函数和对偶小波函数存在的必要条件为(11.14)及(11.15)11.3小波在图像处理中的应用小波在图像处理中的主要应用噪声检测；特征提取；图像压缩；图像融合等方面。图像压缩目前小波压缩中主要是有几种较为著名的小波压缩方法：