数理方程第三章ppt课件.ppt

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1、§3.3积分变换法定义：假设I是数集(实数或者复数)，K(s,x)为上的函数,这里[a,b]为任意区间。如果f(x)在区间[a,b]有定义,且K(s,x)f(x)为[a,b]上可积函数,则含参变量积分定义了一个从f(x)到F(s)的变换,称为积分变换。K(s,x)称为变换的核。常见的积分变换有傅立叶(Fourier)变换和拉普拉斯(Laplace)变换。傅立叶变换记作：其中，f(x)在任一有限区间满足狄利克雷条件(只有有限个第一类间断点和有限个极值)，在上绝对可积。傅立叶逆变换记作：当f(x)连续时，有傅立叶变换

2、具有如下性质:1)线性性质对于任意常数，2)微分运算性质3)对傅立叶变换求导数4)卷积性质令反之，5)乘积运算傅立叶变换在乘积运算和卷积运算之间建立了一个对偶关系。6)平移性质思考设u=u(x,y),假如我们以y为参数,对x作傅立叶变换：两个自变量的偏微分方程带参量的常微分方程。那么利用傅立叶变换的微分性质，经过傅立叶变换将得到经过傅立叶变换得到二阶导数类似。例用积分变换法解齐次方程：解：考虑到自变量的取值范围，对x进行傅立叶变换。设方程转化为于是为了求出原方程的解,下面对关于进行傅立叶逆变换.根据傅里叶变换的微

3、分性质，例用积分变换法解非齐次方程：方程变为解：作关于的傅立叶变换：可解得而则拉普拉斯变换傅立叶变换要求函数f在有定义并且绝对可积。很多常见函数，如常数函数，多项式，三角函数等都不满足条件。以时间t为自变量的函数在区间也无意义。这些都限制了傅立叶变换的应用。为此引入拉普拉斯(Laplace)变换。拉普拉斯变换的积分核为在复参数p的某个区域内收敛。记作：若f(t)在内的任一有限区间是分段连续的，且存在常数使得则在半平面Re(p)>c内，f(t)的拉普拉斯变换F(p)一定存在，且F(p)还是p的解析函数。拉普拉斯变换

4、的存在条件：基本性质(注意p的范围是复平面的一部分)：1)基本变换:2)线性性质3)微分性质若则4)积分性质6)位移性质7)延迟性质5)对拉普拉斯变换求导8)卷积性质练习：应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程(如P38),也适用于偏微分方程。例解常微分方程的初值问题:解：对t进行拉普拉斯变换,设答案：则原方程变为进行拉普拉斯逆变换,考虑到有例：设x>0,y>0,求解定解问题解：对y进行拉普拉斯变换。则方程变为：设而变为解常微分方程得取拉普拉斯逆变换，得例：一条半无限长的杆，端点温度变化已知，杆的初始温度为0。求杆

5、上温度分布规律。解：需要求解定解问题思考：需要对哪一个自变量进行哪一种积分变换？对t进行拉普拉斯变换，设于是方程变为这是二阶常微分方程的边值问题，它的通解为二阶方程，但是仅有一个边界条件！考虑到具体问题的物理意义：u(x,t)表示温度，故D=0.再由边值条件可知，C=F(p).为求出u(x,t),需要对U(x,p)进行拉普拉斯逆变换。由拉普拉斯变换表知，积分变换法求解定解问题的基本步骤：1)选取恰当的积分变换。主要考虑自变量取值范围，傅立叶变换要求取值范围是，拉普拉斯变换要求取值范围是2)注意定解条件的形式。假如

6、对x进行拉普拉斯变换，而原方程是关于x的k阶方程，则定解条件中必须出现3)定解条件中部分条件需要进行相应的积分变换，部分条件不需要进行积分变换。对方程进行积分变换时用到的条件都不再进行相应的积分变换。4)通过积分变换，得到含参数的常微分方程定解问题,解常微分方程。5)对上面常微分方程的解取相应的积分逆变换。拉普拉斯变换的反演公式：利用留数基本定理，可得课后作业P83习题三5.6.