2016年3月石景山高三数学(理)试题.doc

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1、石景山区2015—2016学年第一次模拟考试试卷高三数学（理）本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后上交答题卡．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则＝(　　)A．B．C．D．2．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)A．B．C．D．4．下图给出的是计算的

2、值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是(　　)A．B．C．D．5．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是(　　)A．B．C．D．6．在数列中，“”是“数列为递增数列”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为(　　)A．B．C．D．8．德国数学家科拉茨1937年提出了一个著名的猜想：任给一个正整数，如果是偶数，就将它减半(即)；如果是奇数，则将它乘3加1(即)，不断重复这样的运

3、算，经过有限步后，一定可以得到1．对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明，也不能否定，现在请你研究：如果对正整数(首项)按照上述规则施行变换后的第8项为1（注：1可以多次出现)，则的所有不同值的个数为(　　)A．4B．6C．32D．128第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．双曲线的焦距是________，渐近线方程是________．10．若变量满足约束条件则的最大值等于_____．11．如图，是半圆的直径，，为半圆的切线，且，则点到的距离＝________．12．在平面直角坐标系中，

4、已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，若直线与曲线相交于两点，则＝____．13．已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是________．14．某次考试的第二大题由8道判断题构成，要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断，每题判断正确得1分，判断错误不得分.请根据如下甲，乙，丙3名考生的判断及得分结果，计算出考生丁的得分．第1题第2题第3题第4题第5题第6题第7题第8题得分甲××√××√×√5乙×√××√×√×5丙√×√√√×××6丁√×××√×××？丁得了________

5、_______分．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）设△的内角的对边分别为且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的值．16．（本小题共13分）我市某苹果手机专卖店针对苹果6S手机推出无抵押分期付款购买方式，该店对最近购买苹果6S手机的100人进行统计（注：每人仅购买一部手机），统计结果如下表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数352510已知分3期付款的频率为,请以此人作为样本估计消费人群总体，并解决以下问题：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求“购买手机的3名顾

6、客中（每人仅购买一部手机），恰好有1名顾客分4期付款”的概率；（Ⅲ）若专卖店销售一部苹果6S手机，顾客分1期付款(即全款)，其利润为1000元；分2期或3期付款，其利润为1500元；分4期或5期付款，其利润为2000元．用表示销售一部苹果6S手机的利润，求的分布列及数学期望．17．（本小题共14分）如图，三棱柱中，⊥平面，，，，为的中点．（Ⅰ）求证：∥平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在侧棱上是否存在点，使得⊥平面？若存在，求出的长；若不存在，说明理由．18．（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

7、（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值．19．（本小题共14分）已知椭圆的短轴长为，离心率为，直线与椭圆交于两点，且线段的垂直平分线通过点．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）求△（为坐标原点）面积的最大值．20．（本小题共13分）若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”．（Ⅰ）①前项和为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；②通项公式为的数列是否是“回归数列”？并请说明理由；（Ⅱ）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；（Ⅲ）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列

8、”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由．