微分中值定理及其应用.doc

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1、第六章微分中值定理及其应用第一节拉格朗日定理和函数的单调性【教学目的】Rolle中值定理，Lagrange中值定理，用导数讨论函数的单调性。一、费马定理——可微极值点的必要条件定理5.3：设ⅰ、定义在，且在点可导，ⅱ、为的极值点，则必有注：先回顾极值点的定义。二、微分中值定理1、Rolle中值定理定理6.1：设满足ⅰ、，ⅱ、在上可导，ⅲ、，则至少存在一点。分析：几何意义：曲线存在一条水平切线。证明思路：找一极值点（闭区间连续函数的性质），再由费马定理，从而得出结果。2、Lagrange中值定理定理6.2：若满足ⅰ、，ⅱ、在内可导，则至少存

2、在一点。分析：几何意义：内有一点的切线与端点的连线平行。证明思路：构造辅助函数满足Rolle中值定理的条件（ⅲ）。注：Lagrange中值定理的等价形式：①②③3、若干推论推论1：设ⅰ、在区间上可导，ⅱ、，则.推论2：设ⅰ、在区间上可导，ⅱ、，则。推论3：（导数极限定理）设ⅰ、，ⅱ、在内可导，ⅲ、，则在点可导，且。注：不存在时，未必有不存在，如，虽然不存在，担有。三、单调函数定理6.3：设在区间上可导，则在上递增（减）等价于。定理6.4：若在内可导，则在内严格递增（递减）的充分必要条件是：ⅰ、，ⅱ、在的任何子区间上不恒为零。推论：若在区间

3、上可微，，则在上严格递增（递减）四、中值定理的应用1、根的存在性及个数2、证明等式和不等式3、证明当调性、有界性、一致连续性等4、推到洛必达法则例1、证明对一切，成立不等式。例2、设在上可导，证明存在使得。五、课堂练习1、证明不等式2、设，证明方程不存在正根。第二节柯西中值定理和不等式极限【教学目的】1、柯西中值定理及应用，2、几种重要不等式极限的计算。一、柯西中值定理定理6.5：设函数满足ⅰ、在上都连续，ⅱ、在上都可导，ⅲ、与不同时为零，ⅳ、，则存在，使得。注：柯西中值定理的几何意义若在直角坐标平面内的曲线由参数方程表示，其中满足柯西中

4、值定理中的条件，则存在，使得过点的切线平行于两个端点的连线。例、设ⅰ、，且，ⅱ、，ⅲ、在内可导，证明：，使得分析：二、不等式极限1、不等式定理6.6：若满足ⅰ、，ⅱ、在内都可导，且，ⅲ、，（为实数或、），则。注：ⅰ、以上方法称为洛必达法则，ⅱ、洛必达法则可重复使用，只要满足不等式形式。2、型不等式定理6.7：若满足ⅰ、，ⅱ、在内都可导，且，ⅲ、，（为实数或、），则。注：ⅰ、对等情形均成立，ⅱ、若不存在，并不能说明不存在，ⅲ、用洛必达方法求不等式极限，应注意满足的条件。3、其他类型的不等式等三、例题选讲例1、求例2、求例3、设在内有定义，且

5、有，令，试求。四、课堂练习五、课外作业第三节Taylor公式【教学目的】了解并掌握哟哦那个多项式逼近函数的方法。一、带有peano型余项的Taylor公式1、Taylor多项式考虑任意的次多项式求导易知，，对一般函数，设在点存在直到阶的导数，构造下式，上述公式称为在点处的Taylor多项式，系数称为Taylor系数，则——（3）2、Peano型余项与Taylor公式定理6.8：设在点存在直到阶的导数，则——（4）分析：证明的关键在于证明为的高阶无穷小量。注：ⅰ、公式（4）称为处的Taylor公式，ⅱ、称为Taylor公式的余项，ⅲ、余项称

6、为peano型余项，ⅳ、带有peano型误差的次多项式是唯一的。3、带peano型余项的Maclanrin公式当时，有，称为Maclanrin公式。二、带有Lagrange型余项的Taylor公式Peano型余项只是定性的说：当时，逼近误差是的高阶无穷小量。下面给Taylor公式构造一个定量形式的余项，方便进行误差估计。定理6.9：（Taylor定理）设ⅰ、，ⅱ、在内存在阶导函数，则，至少存在一点，使得——（*）分析：即证明，或。这里不用洛必达法则证明，而是利用柯西中值定理来证明。注：ⅰ、（*）式称为带Lagrange型余项的Taylor

7、公式，ⅱ、时，（*）式即为Lagrange中值公式，ⅲ、时，即为带Lagrange余项的Maclanrin公式，三、函数的Taylor公式（或Maclanrin公式）展开1、直接展开例1、求的Maclanrin公式。解：例2、求的公式。解：其中注：其余见。2、间接展开——利用已知的展开式，施行代数运算或变量变换，求新的展开式。例3、把函数展开成含项的peano型余项的Maclanrin公式。解：例4、把展开成含项，且具有peano型余项的Maclanrin公式。第四节函数的极值与最值一、极值判别方法1、费马定理若在点可导，为的极值点，则2

8、、判定极值存在的充分条件①极值的第一充分条件定理6.10：设ⅰ、在点连续，ⅱ、在内可导，则ⅰ、若，则在点取得极小值。ⅱ、若，则在点取得极大值。②极值的第二充分条件定理6.11：设ⅰ、在内一阶可