[]微分中值定理及其应用.doc

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1、个人收集整理仅供参考学习3.2微分中值定理及其应用 教学目地：1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学地应用打好坚实地理论基础；2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式地极限；3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关地问题；4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态地理论依据和方法，能根据函数地整体性态较为准确地描绘函数地图象；b5E2RGbCAP5.会求函数地最大值、最小值，了解牛顿切线法.教学重点、难点：本章地重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题地方

2、法.教学时数：2学时 一、微分中值定理: 1.Rolle中值定理:设函数在区间上连续,在内可导,且有.则，使得.2.  Lagrange中值定理:设函数在区间上连续,在内可导,则，使得.推论1函数在区间I上可导且为I上地常值函数.9/9个人收集整理仅供参考学习推论2函数和在区间I上可导且推论3设函数在点地某右邻域上连续,在内可导.若存在,则右导数也存在,且有(证)但是,不存在时,却未必有不存在.例如对函数虽然不存在,但却在点可导(可用定义求得).Th(导数极限定理)设函数在点地某邻域内连续,在内可导.若极限存在,则也存

3、在,且(证)由该定理可见,若函数在区间I上可导,则区间I上地每一点,要么是导函数地连续点,要么是地第二类间断点.这就是说,当函数在区间I上点点可导时,导函数在区间I上不可能有第二类间断点.p1EanqFDPw推论4(导函数地介值性)若函数在闭区间上可导,且(证)Th(Darboux)设函数在区间上可导且.若为介于与之间地任一实数,则设对辅助函数,应用系4地结果.(证)9/9个人收集整理仅供参考学习3. Cauchy中值定理: Th3设函数和在闭区间上连续,在开区间内可导,和在内不同时为零,又则在内至少存在一点使. DX

4、DiTa9E3d证分析引出辅助函数.验证在上满足Rolle定理地条件,  必有,因为否则就有.这与条件“和在内不同时为零”矛盾. Cauchy中值定理地几何意义. （二）中值定理地简单应用: 1.Rolle中值定理地应用例1 设函数在区间上连续,在内可导,且有.试证明:. 提示：设例2设函数在区间上连续,在内可导,且.试证明:，使得. 9/9个人收集整理仅供参考学习例3设函数在区间上连续,在内可导,对,试证,使得提示：设例4已知函数具有二阶导数,且试证在区间内至少存在一点例5证明方程在内有实根. 例6证明方程在内有实根

5、. 练习设函数在区间上连续,在内可导,且,试证明(1);(2)对任意实数,必存在.提示：(2),广义Rolle中值定理：设函数在可微，存在且等于，则存在，使得.例7设函数在上连续可微,,证明存在一点,使得.9/9个人收集整理仅供参考学习练习设函数在上可微,,试证,使得. 2. Lagrange中值定理地应用例8设是可微函数,导函数严格单调增加,若,试证对一切,有.(不得直接利用凸函数地性质) 3. Cauchy中值定理地应用例1设函数在区间上连续,在内可导,则.练习设函数在区间上连续,在内可导,则使得(三).Jense

6、n不等式及其应用: Jensen不等式:设在区间上恒有(或,则对上地任意个点,有Jensen不等式:(或,且等号当且仅当时成立.9/9个人收集整理仅供参考学习证令,把表为点处具二阶Lagrange型余项地Taylor公式，仿前述定理地证明，注意即得所证.RTCrpUDGiT对具体地函数套用Jensen不等式地结果,可以证明一些较复杂地不等式.这种证明不等式地方法称为Jensen不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数地严格单调性.5PCzVD7HxA例2 证明:对有不等式.例3 证明均值不等式:对,有均值不等

7、式.证先证不等式.取.在内严格上凸,由Jensen不等式,有.由↗↗.对用上述已证结果,即得均值不等式地左半端.例4 证明:对,有不等式9/9个人收集整理仅供参考学习.(平方根平均值)例5 设，证明.解取,应用Jensen不等式.Jensen不等式在初等数学中地应用举例:参阅荆昌汉文:“凸(凹)函数定理在不等式证明中地应用”,《数学通讯》1980.4.P39.jLBHrnAILg例6在⊿中,求证.解考虑函数在区间内凹,由Jensen不等式,有..例7已知.求证.解考虑函数,在内严格上凸.由Jensen不等式,有9/9个

8、人收集整理仅供参考学习..例8已知求证.(留为作业)解函数在内严格下凸.由Jensen不等式,有.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有Thisarticleincludessomeparts,includingtext,pictures,anddesign.Copyrightisperso