机械设计方法概论ppt课件.ppt

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1、7.4整体分析平面三角形3结点单元的刚度矩阵为6阶矩阵，结点等效载荷列阵为6行列阵，这与单元3结点共有2×3=6个位移相对应，也就是说，单元刚度矩阵的阶数和结点等效载荷列阵的行数要与单元结点位移数相等。同样，具有n个离散结点的平面弹性体的总刚度矩阵是一个2n阶的矩阵。因此，其单元刚度矩阵和结点等效载荷列阵分别要扩充为2n阶和2n行。以下图所示的有5个结点和3个单元的弹性平板受集中力p作用情况为例，说明尺寸扩充的具体做法。结构整体刚度矩阵图7-35结点3单元平板的有限元模型该弹性平板的3个单元分别由3组结

2、点构成：第一单元（结点1、2、3）；第二单元（结点1、3、4）；第三单元（结点3、5、4）。第一、二、三单元结点位移列阵为第一、二、三单元刚度矩阵为（行列序号为单元结点序号）第一、二、三单元结点载荷列阵为从各单元矩阵可以看出：矩阵元素都以所属结点序号为下标，以所属单元序号为上标；单元矩阵和列阵尺寸扩充的做法：按结点数的2倍确定所有矩阵和列阵的阶数和行数，本弹性体共有5个结点，因此阶数和行数为10；单元结点位移列阵改写为本弹性体全部结点的10阶位移列阵单元结点载荷列阵扩充改写为10阶的载荷列阵对扩充为10

3、阶的单元刚度矩阵元素实行“对号入座”式的填写，即只填写与所属结点序号对应的行列位置上的元素，其余位置上的元素写零，具体做法（按2×2子块方式）结构整体刚度矩阵为各单元刚阵的叠加，即虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，这就是刚度矩阵的大型和稀疏性。实际上，只要结点编号合理，这些稀疏的非零元素将集中分布在以主对角线为中心的一条带状区域内，具有带状分布的特点，如下图所示。结构刚度矩阵K具有以下性质：（1）对称性；（2）奇异性；（3）稀疏性；（4）非零元素呈带状分布。

4、7.5边界约束条件的处理有限元法中，几何边界条件的形式是给定若干个边界结点上的位移值，即可以是零值或非零值。这样一来有限元方程中出现了恒等式，可以采取简单地去掉这些恒等式的方法，求解只含有未知结点位移的有限元方程，7.5边界约束条件的处理对于刚度矩阵，只需划掉与已知结点位移对应的行列，对于结点位移和结点载荷列阵只需划掉对应行即可。但那样做却不利于编程，因此通常是采取一种不用改变原方程尺寸的对角元素乘大数法引入边界条件。具体做法是，当有结点位移为给定值△j时，第j个方程作如下修改：对角元素Kjj乘以大数α

5、（α可取1010左右量级），并将Pj用αKjj取代，即经过修改后的第j个方程为由于αKjj＞＞Kij（i≠j），方程左端的αKiiaj项较其他项要大得多，因此近似得到则有【例】高深悬臂梁平面问题的有限元分析图示为一高深悬臂梁，在右端部受集中力F作用，材料弹性模量为E、泊松比μ=1/3，悬臂梁的厚度(板厚)为t，不计体力，试按平面应力问题计算各个节点位移及支座反力。【解】对该问题进行有限元分析的过程如下。（1）结构的离散化与编号对该结构进行离散，单元编号及结点编号如图所示，即有两个3结点三角形单元（2、3

6、、4和3、2、1）。载荷F按静力等效原则向结点1和结点2移置。结点位移列阵△结点外载荷列阵F约束的支反力列阵R总的结点载荷列阵P其中Rx3，Ry3和Rx4，Ry4分别为结点3和结点4的两个方向的支反力。（2）各个单元刚度矩阵若二单元各取图示局部编码（都以最小角顶点为结点i，另一锐角顶点为结点j）时，其单元刚度矩阵将完全相同，即代入有限元方程F=K△中，即有（4）引入边界条件求解有限元方程该实例的位移边界条件为将其代入有限元方程中，划去上述已知结点位移所对应的第5至第8小行小列，则有由此式可求出结点位移如

7、下：（5）支反力的计算将所求得的结点位移式代入总刚度有限元方程中，可求得支反力如下：【例】计算受集中力作用的三角形平板（见图7-12）。已知集中力P=10，弹性模量E=1，泊松比μ=0.25，板厚t=1，不计体力。（a）三角形平板（b）有限元模型图7-12受集中力作用的三角形平板【输入数据】结点数目：10单元数目：9平面应力问题PTYPE=1（平面问题类型标志）弹性模量E泊松比ν=0.25比重G平板厚度t=1表1结点坐标结点号码xy1+0.0+0.02+2.0+0.03+4.0+0.04+6.0+0.0

8、5+1.0+2.06+7.0+2.07+5.0+2.08+2.0+4.09+4.0+4.010+7.0+6.0表2结点位移计算结果结点号码xyuv1+0.00+0.00+0.00+0.002+2.00+0.00+1.094+1.77e+013+4.00+0.00-1.094+1.77e+014+6.00+0.00+0.00+0.005+1.00+2.00-1.641+1.57e+016+7.00+2.00+0.00+2.10e+017+5.