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1、「标准偏差」为什么要除以「n-1」 叶连昌印象中,在我的求学过程里并未接触到「标准偏差」的概念,师大毕业后在国中任教了十三年,也只有在「资料整理」中教学生画画统计图表而已;后来转进高中教学,才开始研讨「离差」及「相关系数」等教材(说白一点,第一次教高二数学时,我跟学生一样是个「初学者」)。一晃又是十三年多,对统编本「」的公式,无论正的、倒的、横的、竖的都可以跟学生解释得头头是道之时,ㄧ纲多本的数学教材中突然冒出了「」这样一个「莫名其妙」的公式(即「样本标准偏差」)。好长ㄧ段时间,心里既自责又彷徨更气愤,自责的是这十三年来被我教到的学生全被我「误」了;彷徨的是我该如何去解释这「n-1」
2、?要学生死背吗?(这那是我的教学态度?)还是另编一套理论来「误人子弟」,硬是将公式说得清清楚楚?(那又该怎么说才好呢?)气愤的是为什么不继续沿用「」呢?(新教材简直就是在整人吗?)……这个问题在很多的研讨会中被提出来讨论(原来我并不孤独,与我一样心路历程的人还真不少),勉强接受了「不偏估计」的说法,但会后讨论、抱怨声仍不断,多数人还是希望统一使用「」这个公式,不要再分什么「母群体标准偏差」或「样本标准偏差」,徒增「教」、「学」之困扰。(说的也对,您怎么分辨是「母群体」还是「样本」?题目是「求标准偏差」时,到底要算哪一个?总不会两个都要算吧?)抱怨归抱怨,心想新书既敢出版,表示「」这样的定
3、义应该是无庸置疑的,不妨先弄清楚它的理论根据再说吧。没想到经过一段时间的摸索、学习之后,不但接受了这个说法,更认为「」应该是「高中数学」中「标准偏差」的唯一定义,略举数项个人论点如下:(仅提供参考,非论教材之是非)一、高中数学的「统计」教材,开宗明义就是「统计抽样」,其目的是想藉由抽取之「样本」所提供的信息来推估、了解「母群体」的状况。重点既然在于「由小看大」、「以少推多」,因此一概看成「样本数据」而直接采用「」的定义似较合理,「母群体标准偏差」应该是可以不必讨论的。二、「样本标准偏差」一词很容易被解释成「被抽取之样本数据的标准偏差」,其实不然,它应该还是「母群体」的标准偏差,因它是藉由
4、「样本」来推估全体的标准偏差,才称之为「样本标准偏差」的。三、「班上40位同学之数学成绩的标准偏差为多少?」看到这个题目,不免要问:要除以39还是要除以40?除数为39很难算耶?只要出题者多用心,将数据凑得好,欲求近似值之小数位数给的巧,让两种算法之答案一样,争议其实不大。但如果将题目设计如「某校高一学生数百人,利用系统抽样得40位同学之成绩如下…,试估算该校高一学生成绩之标准偏差…」多点情境,或标准偏差的定义只有一个,疑问、争议都没了。四、「MicrosoftExcel」试算软件中,标准偏差函数「STDEV」所传回之值就是「样本标准偏差」(不信,您可试试;人家老外早就这样算),难怪以前
5、在教统编本时,用计算机算的都非标准答案,今天才恍然大悟。一、若取母群体的算术平均数E(X)(即整群资料的中央趋势)来算离均差,因为,为了使的值与更接近,就必须将的值适度放大,通常采用作为样本标准偏差的定义,至于为什么要取「n-1」,请参考大同信息教师手册中详细的说明(如附录)。【附录】所述,老师们看看可以,要跟学生讨论,那就难了!很好解释(「平均」除以「n」是天经地义的事),那除以「n-1」该怎么讲呢?我是这样「骗」学生的,也提供您当参考。【例】某家庭10个成员的年纪为:33,47,51,57,61,65,75,80,87,94(岁)当家的是65岁的老杨,请问这个家中平均一个人差老杨几岁
6、?【解】
7、33-65
8、=32,
9、47-65
10、=18,
11、51-65
12、=14,
13、57-65
14、=8,
15、61-65
16、=4,
17、75-65
18、=10,
19、80-65
20、=15,
21、87-65
22、=22,
23、94-65
24、=29,32+18+14+8+4+10+15+22+29=152(是除以9喔,居然少了ㄧ头「杨」!)平均一个人差老杨16.89岁。【注】这个例题是在未教「离差」之前即让学生练习,结果95%的学生是这样解的(除以9),另外5%的学生也不是除以10,他们是不屑算(我没有强迫他们非算不可)。【注】65岁恰为岁数平均数,16.89岁应可称为平均绝对离差。【附录】(摘录自大同信息第四册教师手册第274页至第
25、277页)设全体数据数值有N个,它们分别为X1,X2,X3,…,Xn,如果以简单随机抽样法,从全体中抽出n个数值,它们分别为x1,x2,x3,…,xn,则全体的平均数,全体的变异数。而抽到的n个数值的样本x1,x2,x3,…,xn的平均数为,且在N个数值中取n个的方法数为。因此,就有个样本的平均数,这些平均数的平均数以表示时,的值为何呢?下面就来推算它,并讨论样本的标准偏差的处理原则。(1)(此处为全体的平均数)证明:令则(因为每个