概率论第三章多维随机变量及其分布ppt课件.ppt

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1、第三章多维随机变量及其分布第一节二维随机变量第二节边缘分布第四节相互独立的随机变量第五节两个随机变量的函数的分布二维随机变量第三章第一节一、二维随机变量的联合分布函数二、二维离散型随机变量三、二维连续型随机变量定义1设随机试验的样本空间是设和是定义在上的随机变量，则由它们构成的一个向量称为二维随机变量或二维随机向量。一、二维随机变量的联合分布函数1.定义2设是二维随机变量，对于任意实数二元函数称为二维随机变量的分布函数，或联合分布函数。一维随机变量的分布函数为2.二维分布函数的几何意义如果将二维随机变量看成平面上随机点的坐标那么分布函数处的函数值就是在随机点落在以为顶点的左下方矩形

2、域（见右上图）上的概率。由分布函数的几何意义，很容易算出随机点落在矩形区域(见右下图)的概率为一维随机变量中区域上的概率3.二维分布函数的几何性质①是变量和的不减函数，即对任意固定的，当时，对任意固定的，当时，首先回忆一维分布函数的性质是不减函数①②③是右连续的②，并且对任意固定的对任意固定的③关于右连续，即④随机点落在矩形区域上的概率上述四条性质是二维随机变量分布函数的最基本的性质，即任何二维随机变量的分布函数都具有这四条性质；更进一步地，我们还可以证明，如果某一二元函数具有这四条性质，那么，它一定是某一二维随机变量的分布函数（证明略）．例1.设的分布函数为求常数的值及概率解由分

3、布函数的性质得则二、二维离散型随机变量定义3若二维随机变量的所有可能取值是有限对或可列无限多对时，则称为二维离散型随机变量。定义4，其中并且，则称为的概率分布或分布律。例2.一袋中有四个球,上面分别标有数字1,2,2,3.从袋中任取一球后不放回,再从袋中任取一个球,以分别表示第一、二次取得的球上标有的数字，求的分布律。解可能取值均为1,2,3.由乘法公式得同理可得所以的分布律为01/61/121/61/61/61/121/60123123解由古典概型求法得例3将两封信随机地投入到三个邮筒中去,表示第一个邮筒中信的个数,表示第二个邮筒中信的个数,求的分布律。1/92/91/92/92

4、/901/900012012例4甲、乙两人投篮，每人投中的概率分别为今各投三次，求①两人投中次数相同的概率；②甲投中次数比乙多的概率；③甲投中次数比乙小一次的概率。解表示甲投中的次数，表示乙投中的次数，由题意可得定义5二维离散型随机变量的分布函数为其中和式是对一切满足的求和。一维随机变量的分布函数为三、二维连续型随机变量定义6设二维随机变量的分布函数为若存在非负函数使得对任意实数总有则称为二维连续型随机变量,称为的概率密度,或称为随机变量和的联合概率密度。概率密度的性质首先回忆一维概率密度的性质①③④②在点连续，则表示面积①②③若在点连续，则有④,即连续型随机变量在某点的概率为0。

5、⑤G表示xoy平面上的区域,落在此区域上的概率相当于以G为底,以曲面为顶的曲顶柱体体积。二维概率密度的性质例5设二维随机变量的概率密度试求：⑴常数的值；⑵分布函数⑶概率⑷概率解⑴由概率密度的性质得从而得⑵由分布函数的性质⑶将看作平面上随机点的坐标，有表示区域：积分区域表示G和概率密度的非零区域的结合⑷所求概率为例6设二维随机变量的概率密度为试求概率解积分区域如右图所示的分布函数为例7已知试求：⑴的概率密度⑵解⑴由概率密度的性质知⑵的概率密度为例8已知⑴求常数A的值；⑵求的分布函数解⑴由性质可得所以⑵由于①当或时，②当时，（如下图3-5(1)）③当时，（如下图3-5(2)）④当时，（

6、如下图3-5(3)）⑤当时，（如下图3-5(4)）故练习1已知二维随机变量的概率密度为:设为平面内由和所定的区域设为平面内由所定的区域解:（1）原式=（2）原式=设为平面内由所定的区域其中D为以为顶点的左下方无界矩形区域2.设服从均匀分布，试求在G上的分布函数解:的概率密度为(下分情况讨论)所以的分布函数为作业9104页2、3第三章二、边缘分布律一、边缘分布函数三、边缘概率密度第二节边缘分布一、边缘分布函数的分布函数为分别的分布函数为设记和的边缘分布函数。，称为关于和则解的边缘分布函数为关于例1已知的分布函数为的边缘分布函数和求关于问各服从什么分布？的边缘分布函数为关于的概率密度为

7、和记所以，服从参数的指数分布，的指数分布。服从参数二、离散型随机变量的边缘分布律设的分布律为则关于的边缘分布律为即同理通常用以下表格表示的分布律和边缘分布律例2求第一节中例3的二维随机变量关于和关于的边缘分布律。注意1/92/91/94/92/92/904/91/9001/94/94/91/91123123三、连续型随机变量的边缘概率密度关于X和Y的边缘概率密度。证定理设是则分别是联合密度函数，的边缘概率密度为即得关于的边缘概率密度为同理可得关于例3已知(X,Y)的联