第三章应变状态理论ppt课件.ppt

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1、第三章应变状态理论7/30/20211外力(或温度变化)作用下，物体内部各部分之间要产生相对运动。物体的这种运动形态，称为变形。本章任务有两个：1、分析一点的应变状态；2、建立几何方程和应变协调方程。7/30/202123.1位移分量与应变分量－几何方程3.2一点的形变状态形变张量3.3转轴时应变分量的变换3.4主形变形变张量不变量3.5体应变应变协调方程7/30/202133.1位移分量与应变分量－几何方程7/30/20214在外力作用下，物体整体发生位置和形状的变化，一般说来各点的位移不同。7/30/20215

2、如果各点的位移完全相同，物体发生刚体平移；如果各点的位移不同，但各点间的相对距离保持不变，物体发生刚体转动等刚体移动。7/30/20216如果各点(或部分点）间的相对距离发生变化，则物体发生了变形。这种变形一方面表现在微线段长度的变化，称为线应变；一方面表现在微线段间夹角的变化，称为切应变。7/30/20217我们从物体中取出x方向上长dx的线段PA，变形后为P‘A’，P‘点的位移为(u,v)，A’点x方向的位移为y方向上的位移为dxdx7/30/20218PA的正应变在小变形时是由x方向的位移所引起的，因此PA正应

3、变为PA的转角为dxdxα7/30/20219我们从物体中取出y方向上长dy的线段PB，变形后为P'B'，B'点y方向的位移为x方向上的位移为PB的正应变在小变形时是由y方向的位移所引起的，因此PB正应变为：PB的转角为：7/30/202110线段PA的转角是线段PB的转角是于是，直角APB的改变量为A有时用张量分量PAB7/30/202111这样，平面上一点的变形我们用该点x方向上的正应变、y方向上的正应变和xy方向构成的直角的变化来描述，称为应变分量，也就是所说的几何方程。从几何方程可见，当物体的位移分量完全确定

4、时，形变分量即完全确定。思考题：当形变分量完全确定时，位移分量是否能完全确定。7/30/202112同样，空间一点的变形我们用该点x、y、z方向上的正应变和xy、yz、zx方向构成的直角的变化－切应变来描述。张量形式为7/30/202113空间的应变分量共九个分量，是一个对称张量，和应力张量一样，它们遵从坐标变换规则，同样存在着三个互相垂直的主方向，对应的主应变值是该张量的特征值。这些互相垂直的主方向构成的直角在该应变张量的变形时，角度不变，由主平面组成的单元体，由正方体变为直角长方体。在主方向构成的坐标系中，张量分

5、量构成对角阵，切应变分量为零。7/30/202114物体除形变外，还存在转动、刚体位移：（a）均匀形变：u、v、w是线性函数，称为均匀形变；（b）刚体位移：“形变为零”时的位移，即是“与形变无关的位移”；（c）纯形变：形变分量不等于零，而转动分量等于零。7/30/2021153.2一点的形变状态，形变张量7/30/202116相对位移张量6个应变分量是通过位移分量的9个一阶偏导，即：引入其中为那勃勒算子，是位移矢量，不难算得的3个分量为:7/30/202117这里的称为转动矢量，而，，称为转动分量。由此，可将相对位移

6、张量分解为两个张量：=+7/30/202118如物体中一点M的形变分量为则相对位移张量（非对称）可分解为应变张量与转动张量。上式，等号右边第一项为对称张量，表示微元体的纯变形，称为应变张量，第二项为反对称张量，它表示微元体的刚体转动，即表示物体变形后微元体的方位变化。7/30/2021193.3转轴时应变分量的变换xyz设在坐标轴oxyz下，物体内某一点的6个应变分量为。现使坐标轴旋转一个角度，新老坐标的关系为：其中表示新坐标轴对老坐标轴的方向余弦。7/30/202120位移矢量在新坐标系中的3个分量分别为：其中为3

7、个新坐标轴的单位矢量。利用方向导数公式:7/30/202121同理，可求其它五个应变分量。经整理可得：于是新坐标系中的应变分量为7/30/202122同理，可以给出某一点沿任意方向微分线段的伸长率张量式表示为7/30/2021233.4主形变，形变张量不变量7/30/202124与应力状态相类似，把切应变等于零的面称为主平面。主平面的法线方向称为主应变方向，主平面上的正应变就是主应变。同样存在第一、第二和第三应变不变量。7/30/2021253.5体应变应变协调方程7/30/202126体应变：物体变形后单位体积的改

8、变。如给定的六面体，其微分体积为其变形后的体积为：则体应变为7/30/202127又可表示为：对于某一初始连续的物体，按某一应变状态变形后必须保持其整体性和连续性，即物体既不开裂，又不重叠，此时所给定的应变状态是协调的，否则是不协调的。7/30/202128从数学的观点说，要求位移函数在其定义域内为单值连续函数。如出现了开裂，位移函数就会出现