分形之父芒德勃罗.doc

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1、分形之父芒德勃罗通过“莱维稳定分布”走向分形1）发现莱维（PaulLevy,1886—1971）稳定分布的重要性；2）用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；3）［重新］发现M集合；4）在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；5）提出“分形”概念和“多分形”（multifractal）思想；6）促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。芒德勃罗从事的第一个科研实践（实际上仍然理论气十足）是研究通讯中的噪声和词频的分布，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向

2、一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动（FBM）的兴趣，对莱维飞行（Levyflights）的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。那么这个线索是什么呢？就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”（Levy'sstabledistributions）。莱

3、维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学院，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学习基本的数学分析。在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了人们对这种完美分布的向往。数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象，最终必然影响到社会科学界。在

4、相当长时间里（甚至到现在仍然如此），数理统计工作者言必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流行观念是错误的。芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律（Pareto'slaw）开始的，这个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律（G.K.Zipf'slaw）。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点：收入水平越高，则收入高于这一水平的人口越少。他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。芒德勃罗的经济论文发表后，经济学界不以为然。正

5、统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需要微观证据。芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾（fattai-ls）现象在尺度变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过程是稳定过程。稳定分布

6、是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的稳定分布呢？这正是芒德勃罗急于思考的。芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳定分布。它就像玻意耳（Boyle）的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的情形。正如我们不能说理想气

7、体（idealgas）模型没有价值，也不能说帕累托－莱维分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹（EdwardLorenz,1917—）的《确定性非周期流》一文（在非线性科学史上具有重要地位）也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模

8、型的应用也就不限于什么经济学或者气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者，历史将公正地记录下他的先驱性工作。以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产