分形几何及其在地球物理中的应用初探.doc

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1、分形几何及其在地球物理中的应用初探摘要：本文简要介绍分形的基本概念，发展历史，简述它在地球物理学中的应用，并探讨未来可能它在地球物理中可能的应用。限于篇幅，文中将略去理论的细节及数学推导，也不涉及分形在其它领域的应用。关键字：分形，分形几何，分维，地球物理，应用一、分形几何发展的历史回顾分形的发展大致可分为三个阶段。第一阶段为1875年至1925年。在此阶段，人们己认识到几类典型的分形集，并力图对这类集合与经典几何的差别进行描述、分析和刻划。第二阶段大致为1926年到1975年。在这半个世纪，人们实际上对

2、分形集的性质作了深入的研究，特别是维数理论的研究已获得了丰富的结果。第三阶段为1975年至今，是分形几何在各个领域的应用取得全面发展,并形成独立学科的阶段。下面对这三个阶段作简要回顾。19世纪，尽管人们已能区别连续与可微的差别，但普遍认为连续但不可微的情形是极为例外的，并且在理论与研究中应排除这类“怪物”，特别认为一条连续曲线上不可微的点应是极少的。在1872年,Weierestras证明了连续函数：（1）（01+）在任一点x均不具有有限或无限导数。(Hardy于1916年证明

3、只要ab≥1，上述结果仍成立)Weierestras这一结果在他所处的时代引起了极大的震动；但尽管人们在观念上产生了改变，但仍认为Weierestras型的函数是极为“病态”的例子。即使如此，人们仍从不同方面推广了上述函数，并对这类函数的奇异性质作了深入的研究，获得了丰富的结果。VanKoch于1904年通过初等方法构造了现今称为VanKoch曲线的处处不可微的连续曲线(见图1)，并讨论了该曲线的性质。由于该曲线的构造极为简单，改变了人们认为连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法。特别重要的是，该曲线是第

4、一个人为构造成的具有局部与整体相似的结构的例子，即现在称为自相似的结构。Peano于1890年构造出填充平面的曲线(见图2),这一曲线出现后，人们提出应正确考虑以前的长度与面积的概念。Peano曲线以及其它的例子导致了后来拓扑维数的引入。与此同时，全不连通的集合从各个方面被提出。为讨论三角级数的唯一性问题,Canter于1872年引入一类现今称为Canter三分集的全不连通的紧集。在当时，人们认为这类集合在传统的研究中是可以忽略的。但Canter的研究结果表明，这类集合在像三角级数的唯一性这样重要问题的研

5、究中不仅不能忽略，而且起着非常重要的作用。一类极为典型的随机分形集，即布朗运动，在那时已受到物理学家的重视。Perrin在1913年对布朗运动的轨迹进行了深入的研究，明确指出布朗运动作为运动曲线不具有导数。他的这些论述在1920年左右，使年轻的Wiener受到震动，并促使他建立了很多布朗运动的概率模型。为了表明自然混乱的极端形式，Wiener采用了“混沌”(chaos)一词。Perrin曾经注意到：一方面，自然界的几何是混乱的，不能用通常形式的欧几里得几何或微积分中那种完美的序表现出来；另一方面，它能使人

6、们想到在190年左右创立的数学的复杂性。Mandelbrot在回顾Perin及Wiener的工作以及分形几何的发展历史时指出，分形几何以下面两种选择为其特征：一是在自然界的混沌中选择问题，因为描述整个混沌是既无意义又无可能的主张；另一个是在数学中选择工具。这两种选择逐渐成熟并创造出了新的东西，在无控混沌与欧几里得过分的有序之间,产生了一个具有分形序的新领域。前面已经谈到，非常“复杂”的集合已被引入，而且长度、面积等概念必须重新认识。为了测量这些集合，同时为了更一般的理论,Minkowskill于1901年

7、引入了集合的Minkowskill容度。进,Hansdoff于1919年引入了Hausdoff测度和Hausdoff维数。实际上，这些概念指出，为测量一个几何对象，必须依赖于测量方式以及测量所采用的尺度。从上面可以看到，在第一阶段，人们己提出了典型的分形对象及其相关问题并为讨论这些问题提供了最基本的工具。在第二阶段，更为系统、深入地发展，深化了第一阶段的思想，并逐渐形成理论，而且将研究范围扩大到数学的许多分支中，在此我们仅简述几条重要的线索及有关的代表人物的工作。首先,Besicovitch及其他学派的研

8、究工作贯穿了第二阶段。他们研究了曲线的维数，分形集的局部性质，分形集的结构,Kakeya集,s-集的分析与几何性质，以及在数论、调和分析、几何测度论中的应用。他们的研究结果极大地丰富了分形几何理论。在此期间，维数理论得到了进一步发展并日臻成熟。Bonligand于1928年引入了Bonligand维数，Poutrjagin与Schnirelman于1932年引入覆盖维数,Kolmogorov与Tikomirov于1995年引入