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1、第三章经典需求理论3.D效用最大化问题UMP假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用函数。假定消费集为消费者在给定价格p>0和财富w>0下选择她最偏好的消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)预算集命题3.D.1若p>0，且u(x)连续，则效用最大化问题一定有解。因此我们要研究：UMP问题的最优解（瓦尔拉斯需求）和最优值（最大效用）的求法及各项性质。瓦尔拉斯需求对应/函数－最优解每一个价格－财富水平(p,w)>0对应一个最优解（集）x(p,w)，这是一个集值映射
2、。？集值映射的性质求解UMP问题命题3.D.2假定u()是一个连续效用函数，代表定义在X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应X(p,w)具有下述性质：在(p,w)上具有零次齐次性；瓦尔拉斯定律凸性/惟一性。Kuhn-Tucker条件如果u()连续可微，最优解的一阶条件（KT）是：（必要？充分？）3.D.1内点最优：边际替代率等于边际交换率。3.D.43.D.5最优解满足的一阶条件任何都必须满足条件(3.D.2)和(3.D.3)。（即一阶条件是必要条件）如果u()是拟凹的和单调的，则一阶条件就是充分条件。
3、即满足(3.D.2)和(3.D.3)的x是UMP的最优解。一阶条件中的Khun-Tucker乘子λ表示最优点上消费者财富的边际效用价值。财富的边际增加导致的效用变化为例3.D.1从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D效用函数为UMP问题是3.D.6一阶条件解得习题3.D.1证明上面导出的瓦尔拉斯需求函数满足命题3.D.2中的三个性质。关于x(p,w)的比较静态分析（财富效应、价格效应），与前面类似。例题中的瓦尔拉斯需求的财富效应和价格效应。间接效用函数－最优值函数对于每个(p,w)>0，UMP的效用值
4、表示为是(p,w)的函数，称为间接效用函数。命题3.D.3假设u()是连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则间接效用函数v(p,w)是：1.零次齐次的；2.在w上严格递增，且对于任意l，在pl上非递增；3.拟凸；4.在p和w上连续。注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。例3.D.2效用函数习题某消费者具有如下形式的效应函数其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是假设u(0)=0，p2=1该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间
5、接效应函数的代表形式是什么？3.E支出最小化问题UMP是在给定财富w下所能达到的最大效用水平，而EMP是为达到效用水平u所需的最小财富水平。最优解称为希克斯需求h(p,u)，最优值称为支出函数e(p,u)=ph(p,u)。若u()可微，一阶条件是3.E.23.E.3对偶问题命题3.E.1假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，且价格向量p>0，则有：1.如果当财富水平w>0时，x*在UMP中最优，那么当要求效用水平为u(x*)时，x*在EMP中也是最优的。且在这一EMP中的最小
6、支出水平是w，即UMP与EMP是对偶问题2.如果当要求达到效用水平为u>u(0)时，x*在EMP是最优的，那么当财富为px*时，x*在UMP中也是最优的。且在这一UMP中的最大效用就是u。即习题1.某消费者具有下列形式的间接效应函数求支出函数。支出函数命题3.E.2假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和的偏好关系，则支出函数e(p,u)：1.在p上一阶齐次；2.在u上严格递增，对任意l，在pl上非递减；3.在p上是凹的；4.在p和u上连续。希克斯（补偿）需求函数命题3.E.3假设u()
7、是一个连续效用函数，它代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则对任意p>0，希克斯需求对应h(p,u)具有下述性质：1.在p上零次齐次；2.没有超额效用；3.凸性/唯一性。3.E.4h(p,u)描述：当价格变化时，如果消费者财富同时调整，以保持效用水平不变，则h(p,u)给出了相应的需求变化。这一类型的财富补偿，称为希克斯财富补偿。需求函数h(p,u)是在价格变化时保持消费者效用水平不变，而瓦尔拉斯需求函数则是保持货币财富不变而允许效用水平变化。补偿需求法则希克斯需求和补偿需求法则希克斯需求满足补偿需求法
8、则：对于伴随着希克斯财富补偿的价格变化，需求和价格反向变动。命题3.E.4假设u()是一个连续效用函数，代表一个局部非饱和的偏好关系，则希克斯需求函数h(p,u)满足补偿需求法则：对所有p’和p’’，有(3.E.5)例3.E.1由科布－道格拉斯效用函数导出的希克斯需求函数及支出函数。GrossvNetSubstitute1.若u是一次齐次的，则瓦尔拉斯需求函数x(p,w)和间接效用函数v(p,w)也
