埃伦费斯特定理.doc

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1、埃伦费斯特定理[编辑]量子力学里，埃伦费斯特定理（Ehrenfesttheorem）表明，量子算符的期望值对于时间的导数，跟这量子算符与哈密顿算符的对易算符，两者之间的关系，以方程表达为[1]；其中， 是某个量子算符， 是它的期望值， 是哈密顿算符， 是时间， 是约化普朗克常数。埃伦费斯特定理是因物理学家保罗·埃伦费斯特命名。在量子力学的海森堡绘景里，埃伦费斯特定理非常显而易见；取海森堡方程的期望值，就可以得到埃伦费斯特定理。埃伦费斯特定理与哈密顿力学的刘维尔定理密切相关；刘维尔定理使用的泊松括号，对应于埃伦费斯特定理的对易算符。实际上，从根据经验法则，将对易算符

2、换为泊松括号乘以  ，再取  趋向于0的极限，含有对易算符的量子定理就可以改变为含有泊松括号的经典定理。导引[编辑]假设，一个物理系统的量子态为  ，则算符  的期望值对于时间的导数为薛定谔方程表明哈密顿算符  与时间  的关系为 。其共轭复数为 。因为哈密顿算符是厄米算符， 。所以， 。将这三个方程代入  的方程，则可得到 。所以，埃伦费斯特定理成立： 。实例[编辑]使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不含时间，则这系统是保守系统。从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知

3、道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。保守的哈密顿量[编辑]思考哈密顿算符  ： 。假若，哈密顿量显性地不含时间， ，则 ，哈密顿量是个常数 。位置的期望值对于时间的导数[编辑]试想一个质量为  的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是 ;其中， 为位置， 是动量， 是位势。应用埃伦费斯特定理，。由于  ，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。这样，可以得到动量  的期望值。动量的期望值对于时间的导数[编辑]应用埃伦费斯特定理， 。由于  与自己互相交换，所以， 。又在坐标空间里，动量算符  不含时间： 。所以， 。将泊松括号展开， 。使用乘法定则， 。在

4、量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力  的期望值。经典极限[编辑]取经典极限[2]， ，则可得到一组完全的量子运动方程： ， 。这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程： ， 。取“经典极限”，量子力学的定律约化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记  为  。设定  。泰勒展开  于  ： 。由于  ， ， 。这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小跟以下两个因素有关：一个是量子态对于位置的不可确定性。另一个则是位势随着位置而变化的快缓。