埃伦费斯特定理

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1、假设，一个物理系统的量子态为，则算符的期望值对于时间的导数为薛定谔方程表明哈密顿算符与时间的关系为。其共轭复数为。因为哈密顿算符是厄米算符，。所以，。将这三个方程代入的方程，则可得到。所以，埃伦费斯特定理成立：。[编辑]实例使用埃伦费斯特定理，可以简易地证明，假若一个物理系统的哈密顿量显性地不相依于时间，则这系统是保守系统。从埃伦费斯特定理，可以计算任何算符的期望值对于时间的导数。特别而言，速度的期望值和加速度的期望值。知道这些资料，就可以分析量子系统的运动行为。[编辑]保守的哈密顿量思考哈密顿算符：。假若，哈密顿量显性地不相依于时间，，则，哈密顿量是个常数。[编辑]位置的期望值

2、对于时间的导数试想一个质量为的粒子，移动于一维空间．其哈密顿量是 ;其中，为位置，是动量，是位势。应用埃伦费斯特定理，。由于，位置的期望值对于时间的导数等于速度的期望值：。这样，可以得到动量的期望值。[编辑]动量的期望值对于时间的导数应用埃伦费斯特定理，。由于与自己互相交换，所以，。又在坐标空间里，动量算符不相依于时间：。所以，。将泊松括号展开，。使用乘法定则，。在量子力学里，动量的期望值对于时间的导数，等于作用力的期望值。[编辑]经典极限取经典极限[2]，，则可得到一组完全的量子运动方程：，。这组量子运动方程，精确地对应于经典力学的运动方程：，。取“经典极限”，量子力学的定律约

3、化为经典力学的定律。这结果也时常被称为埃伦费斯特定理。这经典极限是什么呢？标记为。设定。泰勒展开于：。由于，，。这近似方程右手边的第二项目就是误差项目。只要这误差项目是可忽略的，就可以取经典极限。而这误差项目的大小相依于两个因素：一个是量子态对于位置的不可确定性；另一个则是位势随着位置而变化的快缓。111111