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1、第四章解线性方程组的迭代法§1向量范数,矩阵范数,谱半径及有关性质§2简单迭代法§3赛德尔迭代法§4松弛迭代法§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质对任一向量XRn，按照一定规则确定一个实数与它对应，该实数记为
2、
3、X
4、
5、，若
6、
7、X
8、
9、满足下面三个性质：
10、
11、X
12、
13、0；
14、
15、X
16、
17、=0当且仅当X=0；(正定性)对任意实数，
18、
19、X
20、
21、=
22、
23、
24、
25、X
26、
27、；(齐次性)对任意向量YRn，
28、
29、X+Y
30、
31、
32、
33、X
34、
35、+
36、
37、Y
38、
39、则称该实数
40、
41、X
42、
43、为向量X的范数(半可加性)1.范数的定义§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质2.Rn中常用的几种向量范数1-范数2-范数-范数其
44、中x1,x2,…,xn分别是X的n个分量上述范数都是p范数的特例当不需要指明使用哪一种向量范数时,就用记号
45、
46、.
47、
48、泛指任何一种向量范数。§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质3.关于范数的几点说明设为AX=B的精确解，X为其近似解,则其绝对误差可表示成
49、
50、X-
51、
52、,其相对误差可表示成
53、
54、X-
55、
56、/
57、
58、
59、
60、或
61、
62、X-
63、
64、/
65、
66、X
67、
68、向量的范数可以用来衡量向量的大小和表示向量的误差。设A,B为n阶方阵，若对应的非负实数
69、
70、A
71、
72、满足：
73、
74、A
75、
76、0;
77、
78、A
79、
80、=0，当且仅当A=0时；对任意实数，
81、
82、A
83、
84、=
85、
86、
87、
88、A
89、
90、；
91、
92、A+B
93、
94、
95、
96、A
97、
98、+
99、
100、B
101、
102、
103、
104、
105、AB
106、
107、
108、
109、A
110、
111、
112、
113、B
114、
115、(相容性)§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质4.矩阵范数的引入则称
116、
117、A
118、
119、为矩阵A的范数。设Rn中规定的向量范数为
120、
121、X
122、
123、,在Rn*n中规定的矩阵范数为
124、
125、A
126、
127、，若以下不等式成立时，
128、
129、AX
130、
131、
132、
133、A
134、
135、
136、
137、X
138、
139、§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质5.向量范数和矩阵范数的关系矩阵范数和向量范数相容称矩阵范数
140、
141、A
142、
143、和向量范数
144、
145、X
146、
147、相容定理4.1设在Rn中给定了一种向量范数‖X‖,对任一n阶方阵A,令则由上式所定义的
148、
149、.
150、
151、是一种矩阵范数，并且它与所给定的向量范数‖X‖相容§1向量范数,矩阵范数,谱半
152、径 及有关性质定义一种矩阵范数时,应当使它能与某种向量范数相容。在同一个问题中需要同时使用矩阵范数和向量范数时，这两种范数应当是相容的。矩阵的算子范数(向量范数导出的矩阵范数)§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质算子范数的必要条件:任何一个算子范数，当A为单位矩阵I时,必有
153、
154、I
155、
156、=1向量范数1-范数,2-范数及-范数,从属于它们的矩阵范数分别为:§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质行范数:A的行向量中1-范数的最大值列范数:A的列向量中1-范数的最大值§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质例子：设有方阵A，求其1-范数,2-范数及-范数。其中§1向量范数
157、,矩阵范数,谱半径 及有关性质F-范数(FrobeniusOREuclid范数)§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质F-范数不是算子范数它与向量范数中的2-范数相容:
158、
159、AX
160、
161、F
162、
163、A
164、
165、F
166、
167、X
168、
169、2矩阵的从属范数必与给定的向量范数相容，但是矩阵范数与向量范数相容，却未必有从属关系。对于Rn中的向量序列{X(k)},如果§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质6.向量收敛的定义则称向量序列{X(k)}收敛于Rn中的向量X。上式通常表示成:§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质其中xj(k)和xj分别表示X(k)和X中的第j个分量7.向量收敛的充分必要条件定理4
170、.2Rn中的向量序列{X(k)}收敛于Rn中的向量X的必要充分条件是向量序列的收敛可以归结为对应元素序列的收敛。§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质上式通常表示成:则称方阵序列{A(k)}收敛于n阶方阵A。对于n阶方阵序列{A(k)},如果8.方阵收敛的定义定理4.3n阶方阵序列{A(k)}收敛于n阶方阵A的充分必要条件是:§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质9.方阵收敛的充分必要条件(1)矩阵序列的收敛可以归结为对应元素序列的收敛。设n阶方阵序列A的特征值为i(i=1,2,…,n),矩阵范数和谱半径的关系矩阵A的任一特征值i与其对应的特征§1向量范数,矩阵范数
171、,谱半径 及有关性质10.谱半径为矩阵A的谱半径。则称证明:向量Xi有关系式得
172、i
173、
174、
175、Xi
176、
177、=
178、
179、AXi
180、
181、
182、
183、A
184、
185、
186、
187、Xi
188、
189、§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质对上式两端取范数，再利用相容性质
190、
191、AX
192、
193、
194、
195、A
196、
197、
198、
199、X
200、
201、由于Xi0,
202、
203、Xi
204、
205、0,所以
206、i
207、
208、
209、A
210、
211、，故矩阵A的任何一种范数都大于它的谱半径,即
212、
213、A
214、
215、是矩阵A的特征值的上界。结论：定理4.4如果ARn×n，则§1向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质11.谱范数由于2-范数具有上面
