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1、第2章计算机图形学的数学基础数学的重要性计算机图形学中的理论依据为数学，主要是线性代数部分向量矩阵定义1分量全为复数的向量称为复向量.分量全为实数的向量称为实向量，第一部分向量例如n维实向量n维复向量第1个分量第n个分量第2个分量维向量的表示方法维向量写成一行，称为行向量，也就是行矩阵，通常用 等表示，如：维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用 等表示，如：注意１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.向
2、 量解析几何线性代数既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组几何形象： 可随意平行移动的有向线段代数形象： 向量的坐 标 表 示 式坐标系向量空间空 间解析几何线性代数点空间：点的集合向量空间：向量的集合坐标系代数形象： 向量空间 中 的 平 面几何形象： 空间直线、曲线、空间平面或曲面一 一 对 应叫做维向量空间．时，维向量没有直观的几何形象．叫做维向量空间 中的维超平面．确定飞机的状态，需要以下6个参数：飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的仰角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量的实际
3、意义定义2令长度范数向量的长度具有下述性质：向量的长度及性质解单位向量夹角定义1内积内积（数量积）的定义及性质说明1维向量的内积是3维向量数量积的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．内积的运算性质向量积的定义及性质设响亮z是由两个向量x和y按下列方式给出：z的长度Z的方向垂直于x与y所决定的平面，z的指向按右手规则从x转向y来决定则向量z叫做向量x与y的向量积，１正交的概念２正交向量组的概念正交若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组．正交向量组的概念及求法证明３正交向量组的性质例1已知三维向量空间中两个向量正交，
4、试求使构成三维空间的一个正交基.４向量空间的正交基即解之得由上可知构成三维空间的一个正交基.则有解５规范正交基例如同理可知（1）正交化，取，６求规范正交基的方法（2）单位化，取例２用施密特正交化方法，将向量组正交规范化.解先正交化，取施密特正交化过程再单位化，得规范正交向量组如下例３解再把它们单位化，取几 何 解 释例４解把基础解系正交化，即合所求．亦即取1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若
5、干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接A与B.四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中表示有航班.为了便于计算,把表中的改成1,空白地方填上0,就得到一个数表:这个数表反映了四城市间交通联接情况.矩阵的定义由个数排成的行列的数表称为矩阵.简称矩阵.记作简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.主对角线副对角线例如是一个实矩阵,是一个复矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于
6、的矩阵，称为阶方阵.也可记作只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为12.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.例1间的关系式线性变换.系数矩阵线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.若线性变换为称之为恒等变换.对应单位阵.线性变换对应这是一个以原点为
7、中心旋转角的旋转变换.例2设解１、定义矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如2、矩阵加法的运算规律1、定义数与矩阵相乘2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）１、定义并把此乘积记作三、矩阵与矩阵相乘设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中例１设例2故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.２、矩阵乘法的运算规律（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并
8、且注意矩阵不满足交换律，即：例设则但也有例外，比如设则有例3计算下列乘积：解解=(）解例4由此归纳出用数学归纳法证明当时，显然成立.假设时成立，则时，所以对于任意的都有定义把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例
