导数及其应用经典例题解析.docx

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1、导数及其应用经典例题解析导数及其应用经典例题解析（例题）1.已知函数f(x)=(x+1)ln(x+1)-kx+1（k∈R）.（1）当k=1时，求f(x)的最小值；（2）探求是否存在整数k，使得f(x)在（-1，+∞）上的图象均在第一、第二象限.若存在，求出k的最大值；若不存在，请说明理由；n2i-13(n+2)e（3）证明：åln(1+)>2n-5e-+（n≥3，n∈N+）.in+12n-2i=12.设函数f(x)=ax+lnx（a∈R）.（1）若a=1，求f(x)max；（2）对于函数y=f(x)的图象上的任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)（0

2、0，y0)（x1

3、[e-1，e]，e(e-x)(e+x-6)+4≥x4；（3）证明：当n≥2（n∈N+）时，不等式ln2n15310时，比较f(x)与gn(x)的大小；næ2öi（3）证明

4、：1+åç÷≤gn(1)0恒成立，所以存在整数k满足题意.现探求k的最大整数值.∵1∈（-1，+∞），∴必有f(1)>0，即k<2ln2+1<3，∴k的最大值为1或2.当k=2时，f'(x)=ln(x+1)-1，可知当x>e-1时，f'(x)>0；-10，即f(x)在（

5、-1，+∞）上的图象均在第一、第二象限.故k的最大值为2.（3）由（2）知在R+上，f(x)=(x+1)ln(x+1)-2x+1≥3-e，∴ln(1+x)≥2-xe+1>2-ex.2i-1ein2i-1ni(n+2)e∴ln(1+)>2-，则åln(1+)>2n-eå=2n-4e+，i2i-1ii-12n-1i=1i=12(n+2)en2i-1(n+2)e即-+åln(1+)>2n-4e-.2n-2i2n-1i=1n+22n+42n+42n+4n+2当n≥3时，-=-=-≥-=-，2n-12n11n-1n2n+2n+1+Cn++Cn+Cn(n+2)en2i-1(n+2)e3∴-+åln(1+)

6、>2n-4e->2n-5e-，2n-2in+1n+1i=1n2i-13(n+2)e∴åln(1+)>2n-5e-+（n≥3，n∈N+）.in+12n-2i=12.（1）当a=-1时，f'(x)=-1+1，易得f(x)max=f(1)=-1.x（2）直线P1P2的斜率k=ax2+lnx2-ax1-lnx1=a+lnx2-lnx1，x2-xx-x121由（1）知，f(x)=-x+lnx≤-1，当且仅当x=1取等号.∵x2>x1，∴-x2+lnx2<-1，即lnx2-lnx11，∴1

7、则a+10，则有h