微积分常用公式.docx

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1、1.常用等价无穷小当x→0时x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ax-1lna~1+xb-1b(其中a>0,b≠0)x~ex-112x2~1-cosx1nx~n1+x-1α~(1+x)α2.常用极限1.limx→∞nkan=0,(a>1)2.limx→∞cnn!=0,(c>0)3.limx→∞nqn,(q<1)4.limx→∞na=1,(a>0)5.limx→∞nn=16.limx→∞logann=0,(a>1)7.limx→∞1nn!=08.limx→∞1+1nn=e9.limx→∞nnn!=e10.limx→∞sinxx=0

2、11.limx→+∞logaxxε=0,(a>1,ε>0)12.limx→∞(1p+2p+…+npnp+1)=1p+113.limx→∞(1p+2p+…+npnp+1-np+1)=1214.limx→∞(1p+3p+…+(2n-1)pnp+1)=2pp+115.limx→∞1n+1+1n+2+…+12n=ln216.limx→0sinxx=117.limx→0(1+x)1x=e18.limx→0ax-1x=lna19.limx→0(1+a)μ-1a=μ20.limx→0ln(1+x)x=121.limx→0arcsinxx=122.limx→0arctanxx=1

3、23.limx→0(1+mx)n-(1+nx)mx2=12mn(n-m)24.limx→0m1+αx-n1+βxx=αm-βn,(mn≠0)25.limx→0m1+αx∙n1+βx-1xαm+βn，（mn≠0）26.limx→1xm-1xn-1=mn,(m,n为自然数)27.limx→1m1-xm-n1-xn=m-n228.limx→1mx-1nx-1=nm,(m,n∈Z)29.若Xn（n=1,2…）收敛,则算数平均值的序列ζn=1nX1+X2+…Xn,(n=1,2⋯)也收敛，且limx→∞x1+x2+…+xnn=limx→∞xn30.若序列Xn(n=1,2…)收

4、敛，且Xn>0,则limx→∞nx1+x2+…+xn=limx→∞Xn31.若Xn>0(n=1,2…)且limx→∞Xn+1Xn存在，则limx→∞nXn=limx→∞Xn+1Xn32.若整序变量Yn→+∞,并且——至少是从某一项开始——在n增大时Yn亦增大，Yn+1>Yn，则limn→∞XnYn=limn→∞Xn-Xn-1Yn-Yn-13.常用公式及不等式1.1+2+…+n=n(n+1)22.12+22+…+n2=nn+1(2n+1)63.13+23+…+n3=(1+2+…n)24.a3±b3=a+b(a2∓ab+b2)5.xn-1=x-1(xn-1+xn-2+

5、…+x+1)6.xn-an=x-a(xn-1+axn-2+a2xn-3+…+a2x+an-1)7.xn+an=x+a[x2k-1-ax2k-2+…+(a2k-2x-a2k-1)]8.x-1=(nxn-1+nxn-2+…+1)9.伯努利不等式(1+x)n≥1+nx1+x11+x2∙∙∙1+xn≥1+x1+x2+…+xn10.

6、x-y

7、≥

8、x-

9、y

10、

11、11.

12、xy

13、≥xy12.X+X1+…+Xn≥X-X1+…+Xn13.n!<(n+12)n14.12∙34∙⋯∙2n-12n<12n+115.1n+1

14、合数公式Ckn=Aknk!=n!k!n-k!Ckm+n+1-Ckm+n=Ck-1m+n排列数公式Akn=n∙n-1∙⋯∙n-k+1=n!n-k!19.z6-1=z+1z-1z2+z+1z2-z+120.z6+1=z2+1(z4-z2+1)21.z4+1=z2+2z+1(z2-2z+1)4.常用符号1.记号n!!表示自然数的连乘积，这些自然数不超过n，并且每两个数之间差2.例：7！！=1∙3∙5∙78‼=2∙4∙6∙85.微分学基本公式1.y=cdy=02.y=xμdy=μxμ-1dx3.y=axdy=axlnadx4.y=logaxdy=logaexdx5.y=s

15、inxdy=cosxdx6.y=cosxdy=-sinxdx7.y=tanxdy=sec2xdx=1cos2xdx8.y=cotxdy=-csc2xdx=1sin2xdx9.y=secxdy=secxtanxdx10.y=cscxdy=-cscxcotxdx11.y=arcsinxdy=11-x2dx12.y=arccosxdy=-11-x2dx13.y=arctanxdy=11+x2dx14.y=arccotxdy=-11+x2dx15.y=shxdy=chxdx16.y=chxdy=shxdx17.y=thxdy=1ch2xdx18.y=cthxdy=-1sh

16、2xdx6