第10章 能量法ppt课件.ppt

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1、第十章能量法§10-1概述1.能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。2.能量法的应用范围十分广泛：（1）适用于线弹性体、非线性弹性体（2）求解静定问题、超静定问题（3）是有限单元法的重要基础3.本章主要内容：先介绍应变能和余能的概念，然后讨论应变能原理和余能原理，并用卡氏定理求解静定和超静定问题。§10-2应变能·余能Ⅰ.应变能1.线弹性体(a)拉(压)杆：(1)基本变形形式【材料力学(Ⅰ)】利用应变能在数值上等于外力功W(b)圆轴扭转：jMeMej(c)弯曲：OqqMeMelF细长梁，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，可略去不

2、计。纯弯曲:横力弯曲:可以把应变能统一写成(2)构件上有一组广义力共同作用广义力：集中力、集中力偶、一对大小相等、方向相反的集中力、一对大小相等、转向相反的集中力偶等；广义位移：线位移、角位移、相对线位移、相对角位移等。BA采用按比例加载的方式(通常称为简单加载)，即在加载过程中两个力保持固定的比值(常数)载荷由零增至最终值F1、F2时，力的作用点的位移亦达到最终值D1、D2。D1、D2是F1、F2共同产生的式中，a、b、c、d为比例常数。将k代入有左式表明，简单加载时各力与其对应的位移成正比。因此此梁内的应变能为把上式中的位移用力表示有由上式可知：可将应变能表示成外力

3、（或位移）的二次函数，因此求应变能是不能用叠加法的。BA推广到n个力：Fi为广义力，Di为Fi的作用点沿Fi方向的广义位移，它是由所有广义力共同产生的。(3)组合变形（用内力形式表示的应变能）小变形时不计FS产生的应变能M(x)—只产生弯曲转角dqFN(x)—只产生轴向线位移dDT(x)—只产生扭转角dj杆的应变能为:(3-1)略去高阶微量后，dx段的应变能为(4)应变能的特点:EAF2F1abF1F2Me①由于应变能是内力的二次函数，所以当杆件受到一组引起同一种基本变形的外力作用时，杆的应变能不等于各外力单独作用时的应变能之和。即不能用叠加法。②当杆件受到一组引起不同

4、基本变形的外力作用时，在小变形时，杆的应变能等于各力单独作用时的应变能之和，即可用叠加法。③应变能的大小与加载顺序无关（能量守恒）CwCFEIABMel/2l/2qA,F和Me同时作用在梁上，并按同一比例由零逐渐增加到最终值——简单加载。先加F,再加MeCFEIABMewC,F,CFEIAB,先加Me,再加FCEIAB,MeCFEIAB,Me2非线性弹性体设拉杆的材料为非线性弹性体，如图(a)，其F-及-曲线如图(b)、(c)所示。F在d上所作元功为：F作的总功为：（F-曲线与横坐标轴间的面积）AFl(a)FF1FdO(b)1dW=Fd1dO(

5、c)1由能量守恒得应变能：(3-2)例10-1:弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。解：方法1：利用V=W则：wxlyABqx梁的挠曲线方程为：方法2：利用则：梁的弯矩方程为：Ⅱ.余能图a为非线性弹性体的受拉杆，其F-D和s-e关系如图b、c所示。(1)余功的定义:（F-曲线与纵坐标轴间的面积）说明：余功Wc和外力功W具有相同的量纲，其值为矩形面积F11与外力功之差，故称为余功。Wc只有几何图形上的意义，无物理概念，即没有什么力作的功为Wc。FF1WcWD1Do(d)a仿照Ve=W，余能为:(3-8)(2)余能VcVeF1FDD

6、1a(e)o(3)线弹性体(图e)应变能和余能数值相等，即Ve=Vc，但概念和计算方法不同。§11-3卡氏定理Ⅰ.卡氏第一定理图示梁的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。现按简单加载方式加载。梁的应变能为：假设与第i个荷载Fi相应的位移Di有一微小增量dDi，而其余的位移均保持不变。则外力功和应变能的增量分别为令(卡氏第一定理)得弹性结构的应变能V，对某一广义位移Di的偏导数，等于与该位移相应的广义力Fi。适合于线弹性体、非线性弹性体Ⅱ.卡氏第二定理假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi，其余荷载均保持不变，则余功和余能的改变量分别为：(1)余能定理图示梁

7、的材料为非线性弹性体，Fi为广义力，Di为广义位移。现按简单加载方式加载。梁的余能为：令(余能定理)得弹性结构的余能Vc，对某一广义力Fi的偏导数，等于与该力相应的广义位移Di。适合于线弹性体、非线性弹性体(2)卡氏第二定理(重点掌握)当结构为线弹性体时，V=Vc，则(余能定理)(卡氏第二定理)(3-15)表明：线弹性结构的应变能V对作用其上的某一广义力Fi的偏导数，等于Fi作用点沿Fi该方向的广义位移i。注意：卡氏第二定理是余能定理在线弹性情况下的特例，仅适用于线弹性体，式中的Fi和i分别为广义力和广义位移。Fi----集中力、