数值计算学习报告.doc

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1、《高斯消元法》研究与思考第一章《高斯消元法》描述1、《高斯消元法》的相关概念在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解线性代数方程组的问题,线性方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解线性方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解线性方程组。直接法是在没有舍入误差的情况下，通过有限步四则运算来求的方程组精确解的方法。直接法基本方法是高斯消元法，其改进方法包括高斯列主元消去法，三角分解法，追

2、赶法等的基本思想和原理。高斯消去法（GaussEliminationMethod）是一种规则化的加减消元法。基本思想是通过逐次消元计算把需要求解的线性方程组转化为上三角形方程组，即把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解。1.1Gauss消去法的计算过程通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，以使A对角线以下的元素化为零，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。现举例说明如下：1.1.1消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1

3、,再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得第二步：将(2)(1)除以2/3，使x2系数化为1，得再将(3)(1)式中x2系数化为零，由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：1.1.2回代过程由(3)(3)得x3=1,将x3代入(2)(2)得x2=-2,将x2、x3代入(1)(1)得x2=1,所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T1.1.3用矩阵演示进行消元过程第一步

4、：先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，主对角线全为1，左下三角矩阵全为0.即原方程组被等价转化成为上三角方程组，然后，逐步回代得原方程组的解即可。1.1.4高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为第一步，消元（1）令（2）对k=1到n-1，若akk(k)≠0，进行第二步，回代若2、高斯消元法的运算量由公式，可得出消去过程的第步共含有除法运算次，乘法和减法运算各次，所以消去过程共含有乘除法次数为含加减法次数为而回代过程含乘除法次数为，加减法次数

5、为，所以Gauss消去法总的乘除法次数为，加减法次数为二、《高斯消元法》的相关问题1.为什么说高斯消元法是中国古法？2.哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？ 3.什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？ 4.何为向量范数？给出三种常用的向量范数。 5.何为矩阵范数?6.高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？三、《高斯消元法》的相关理论3.1.特征值和特征向量 设A是一个n´n阶实矩阵，若对于数l，存在非零向量x，使得Ax=lx成立。则称l是A的

6、特征值(CharacteristicValue)，x为A的对应于l的特征向量(CharacteristicVector)。 3.2向量和矩阵用表示全部实矩阵的向量空间,表示全部复矩阵的向量空间.（称为m行n列矩阵）.（称为n维列向量）,其中为A的第列.同理,其中为A的第行.矩阵基本运算:(1)矩阵加法.(2)矩阵与标量的乘法.(3)矩阵与矩阵的乘法.（4）单位矩阵,其中3.3特殊矩阵设,则有A为:(1)对角矩阵如果当时,;(2)三对角矩阵如果当;(3)上三角矩阵如果当;(4)对称矩阵如果;(5)正定矩阵如果设A是n阶实系数

7、对称矩阵,如果对任何非零向量　　都有,就称A正定.四、《高斯消元法》国外研究进展十几年来直接法在求解具有较大型稀疏矩阵方程组方面取得了较大进展。关于三对角线性方程组的直接求解已经有大量并行算法,其中Wang的分裂法是最早针对实际硬件环境,基于分治策略提出的并行算法。它不仅通信结构简单,容易推广到一般带状线性方程组的并行求解,而且为相继出现的许多其它并行算法提供了可行的局部分解策略。 近20年来求解三对角方程组的并行算法都是基于分治策略,即通过将三对角方程组分解成P个小规模问题,求解这P个小规模问题,再将这些解结合起来得到原

8、三对角方程组的解。一般求解三对角方程组的分治方法的计算过程可分为3个阶段:一是消去,每台处理机对子系统消元;二是求解缩减系统(需要通信);三是回代,将缩减系统的解回代到每个子系统,求出最终结果。具体可分为以下几类: （一)递推耦合算法(RecursiveDoubling) 由Stone于1975年提出,