数值计算实践报告

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1、---数值计算实践上机报告学院:理学院指导老师：范晓娜老师姓名：王红学号：B13080102日期：2015年10月11日—24日一、方程求根(一)实验目的熟悉掌握Newton法,割线法,抛物线法三种方法求方程近似根的算法思想，在matlab软件上分别使用这三种方法编程解决给定的三次方程的求根问题。（二）问题描述一.方程求根(1).给定一个三次方程,分别用Newton法,割线法,抛物线法求解.方程的构造方法:(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.假设你的学号为B06060141,则根为141*(4+1)/1000=0.564(b)方程:以

2、你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是B06060141,则你的方程是x3+4x2+x+a0=0的形式.方程的根为0.564,因此有0.5643+4*0.5642+0.564+a0=0,于是a0=-2.015790144你的方程为x3+4x2+x-2.015790144=0.(2)假设方程是sinx+4x2+x+a0=0的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p*)2得到对应的五次多项式(p*为已

3、经确定的方程的根,显然,得到的五次方程有重根).(4)将（2）中的方程同样乘以(x-p*)得到一个新的方程来求解注:(1)Newton法取0.5为初值,割线法以0,1为初值,抛物线法以0,0.5,1为初值,(2)计算精度尽量地取高.终止准则：根据

4、pn-pn-1

5、

6、(3)可供研究的问题：（一）e的取值不同对收敛速度有多大的影响（二）将注（1）中的初值该为其它的初值，对收敛性以及收敛速度有无影响(三)能否求出方程的所有的根（三）算法介绍（包括基本原理）牛顿法牛顿法是一种能在许多不同情况下应用的通用过程。特别的，当用它来求实变量实值函数零点时，常常被成为牛顿

7、—拉弗森迭代。由于其收敛是二次的而不是线形或超线性的，所以通常牛顿法对分法和割线法要快。一旦二次收敛变得有效时，即牛顿法序列的值能充分地接近根时，其收敛很快以至于仅仅再需要几个数值即可。不完美的是，牛顿法不能保证总是收敛，所以实际计算中常常将其与其他较慢的方法结合形成一种数值上整体收敛的混合方法。假设我们有一个函数，其零点由数值计算得出。设是的零点，而是的一个近似。若存在并且连续，则由泰勒定理，得其中，若较小（即在附近），则有理由无穷小量项，并且在余下的方程中求，其结果是若是的一个近似，则是的一个更好的近似。牛顿从的一个估计开始，然后归纳定义割线法根据前面牛顿迭代

8、法算法介绍，我们发现牛顿法拥有许多良好的性质，比如二次收敛速度很快，迭代次数较少，所用存储空间少，程序编写简单等。但不可否认的是，牛顿法仍然存在缺点，如局部收敛，需要求函数零点导数等。因此为克服存在函数不可导的这一缺点，人们提出了割线法。割线法，又称弦割法，弦法。是求解非线性方程的根的一种方法。属于逐点线性化方法。割线法是函数逼近法(又称函数插值法)的一种，基本思想是用用区间或上的割线近似代替目标函数的 导函数的曲线。并用割线与横轴交点的横坐标作为方程式的根的近似。其迭代公式为：因为的计算要用到和，所以只要一开始就定义两个初始点，进行迭代便可以得到方程的近似解。抛

9、物线法抛物线法是求无约束一维极值的一种方法，也叫二次插值法，其理论依据为二次多项式可以在最优点附近较好的逼近函数的形状，做法是在函数的最优点附近取三个构造点，然后用这三个点构造一条抛物线，把这条抛物线的极值点作为函数的极值点的近似。每次构造一条抛物线后，抛物线的极值点就可作为一个新的构造点，新的构造点与原来的三个构造点经过某种算法，得到下一步抛物线逼近的三个构造点，这就是抛物线法的算法过程。（二）程序Ⅰ构造方程(a)根:方程的根为学号的后三位乘以倒数第二位加1再除以1000.因为我的的学号为B13080102,则根为102*(0+1)/1000=0.102(b)方

10、程:以你的学号的后三位数分别作为方程的三次项,二次项,一次项的系数,根据所给的根以及三个系数确定常数项.例如:你的学号是B13080102,则我的方程是x3+2x+a0=0的形式.方程的根为0.102,因此有0.1023+2*0.102+a0=0,于是a0=-2.0506121方程为x3+2x-2.0506121=0.(2)假设方程是sinx+2x+a0=0的形式（三个系数分别是学号中的数字），重新解决类似的问题a0=-0.3058232，方程为：sinx+2x-0.3058232=0(3)构造一个五次方程完成上面的工作.四次方程的构造:将三次多项式再乘以(x-p

11、*)2得到