数学建模课后作业实验二.docx

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1、实验二作业一、微分方程稳定性分析解：（1）令fx=dxdt=x=0，fy=dydt=y=0,所以此式的平衡点为P（0，0）。矩阵A=1001，λ1=1，λ2=1detλ-A=λ2+pλ+q=λ-λ1(λ-λ2)p=-∂11+∂22=-1+1=-2，q=∂11∂22-∂21∂12=1*1—0*0=1λ1=λ2>0,p<0,q<0,p2=4q,所以平衡点不稳定（2）令f(x)=-x=0,x=0;f(y)=2y=0,y=0;因此平衡点p（0，0）。矩阵A=-1002⟹λ1=-1，λ2=2p=-∂11+∂22=--1+2=-1q=∂11∂22-∂21∂

2、12=-1*2—0*0=-2λ1<0，λ2>0，p<0，q<0，所以平衡点不稳定。（3）f（x）=y=0；f（y）=-2x=0，x=0；所以平衡点P（0，0）。矩阵A=01-20⟹λ1=0+1.4i，λ2=0-1.4ip=-∂11+∂22=-0+0=0；q=∂11∂22-∂21∂12=-0—1*-2*=2所以平衡点不稳定。（4）令f（x）=-x=0，x=0；f（y）=-2y，y=0；平衡点p（0，0）。矩阵A=-100-2⟹λ1=-1，λ2=-2；p=-∂11+∂22=--1-2=3；q=∂11∂22-∂21∂12=-1*-2—0*0=2；平衡

3、点稳定。二、种群增长模型解：由题意可以得出关于N的微分方程：fN=dNdt=r1N-r2N12；令f（N）=0⇒N1=0，N2=r22r12，此为另个平衡点；另外求：d2Ndt2=r1-12r2N-12r1N-r2N12=0⇒N=r224r12有方程N=N1=0;N=N2=r22r12;N=N3=r224r12，可讲第一象限划分为三部分N1是不稳定的，N2是稳定的三、单种群开发模型解：令满足F(x)==0(1)的点称为方程的平衡点。解得的两个平衡点为：，容易算出两个解E-r和r-E称平衡点是稳定的是指：对方程(1)的任一个解，恒有(2)判断平衡

4、点x*是否稳定，可根据一阶近似方程：(3)判断。该方程的一般解为：于是有下述结论：若，则x*是稳定平衡点；若，则x*不是稳定平衡点。应用上述近似判别法，所以有当Er时，x0不是稳定平衡点，x1是；结果分析：当捕捞适度(即：Er）时，渔场产量将减至x1=0，破坏性捕捞，从而是不可持续的。进一步讨论：如何控制捕捞强度E使得持续产量Ex0最大： 结论：最优捕捞率为。四、Compertz模型解：变化规律的数学模型为记（1）令，得，．则有

5、平衡点为.又，．推出平衡点是稳定的，而平衡点不稳定.0（2）最大持续产量的数学模型为：由前面的结果可得，令得到最大产量的捕捞强度，从而得到最大持续产量，此时渔场鱼量水平。五、有限资源竞争模型解：令r1=-a1+c1,r2=-a2+c2;N1=r1/c1b1,N2=r2/c2b2;β=α=b2/b1平衡点为p0(0,0),p1(N1,0),p2(0,N2),p3(N1-αN21-αβ,N2-βN11-αβ);判断平衡点的稳定性：p0，矩阵A=r100r2,p=-∂11+∂22=-r1+r2<0,所以p0不稳定。p1，矩阵A=-r1-αr10r2-

6、βr2N1N2,p=-∂11+∂22=-(-r1+r2-βr2N1N2),q=∂11∂22-∂21∂12=-r1r2-βr2N1N2-0=-r1r2-βr2N1N2当a1c10,q>0,所以p1稳定，所以当t⟶∞，x2t→0;p2,矩阵A=r1-αr1N2N10-βr2-r2,当a1c1>a2c2时，p>0,q>0,所以p2稳定，所以当t⟶∞，x1t→0;3）线性方程组：L1:1-x1N1-αx2N1=0L2:1-x2N2-βx1N2=0t⟶∞，x2t→0;t⟶∞，x1t→0;六、蝴蝶效应与混沌解解：（）functionxdo

7、t=a4_1(t,x)xdot=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];输入：[t,x]=ode45(@a4_1,[010],[001e-10])求的解为：ans=0000.00000.13620.00000.0000-0.00000.27240.00000.0000-0.00000.4086-0.0000-0.00000.00000.5448-0.0000-0.00000.00000.5756-0.0000-0.00000.00000.60650.00000

8、.00000.00000.63730.00000.00000.00000.66810.0000-0.00000.00000.69900.00000.0